Wir fangen mit Integralen an und ich komm nicht mit.

23.01.2008, 19:02

-C-

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Wir fangen mit Integralen an und ich komm nicht mit.

Hallo!
Ich hoffe sehr jemand zeigt sich gütig und hilft mir mit einer Integralaufgabe klar zu kommen,die unsere Hausaufgabe darstellt. Es wäre toll,wenn mir hierbei jemand klar macht, welche Schritte in welcher Reihenfolge zur Lösung der Aufgaben gemacht werden müssen.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

Berechnen die den Inhalt der Fläche
a)die der Graph von f mit der x-Achse einschließt
b)zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [-4;0]
c)die der Graph von f und die Gerade mit der Gleichung y= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ einschließt
d)die vom Graphen von f, der Normalen in P(-2|- $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ) und der Normalen im Ursprung begrenzt wird.

So, das wäre es. Ich kannl nun von keinem erwarten,direkt alle zu lösen, also wäre es nett davor hinzuschreiben welcher Aufgabenteil es ist. Es müssen ja nichtmal Lösungen sein, sondern viel mehr die einzelnen Schritte die zu machen und die Formeln die zu benutzen sind. Das würde mir schon sehr viel helfen.

Bitte findet sich jemand!
mfg C

23.01.2008, 19:05

vektorraum

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RE: Wir fangen mit Integralen an und ich komm nicht mit.
Na ja so schon mal gar nicht. Selbst wenn ich die Lösung hinschreiben würde, selbst dann würde ich die Aufgabennummer absichtlich weglassen Big Laugh

Big Laugh

Willst du dein Abitur haben? Ich denke, die meisten von uns haben das schon. Also halte dich ran, dass du die Aufgaben selber löst.

Irgendetwas musst du doch wissen, also fange mit deinen Ansätzen an. Wie wärs mit einem Bildchen???

Rechts siehst du Funktionen-Plotter. Also - los gehts...

23.01.2008, 19:13

-C-

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Dass die meisten hier weiter sind war mir nachdem ich einige Threads durchgelesen habe relativ klar, außerdem will ich nicht die Lösungen,sondern die Schritte, die man machen muss. Ich will natürlich selbst ausrechnen,aber ich komme mit den Formeln nicht sonderlich klar, die hierzu nötig sind. Ich bekomme es leider nicht hin,ein Bild einzufügen, weil ich scheinbar die Funktion des Buttons dazu nicht beherrsche:

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

23.01.2008, 19:17

Dual Space

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Zitat:

Original von -C-
EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

Latex? Wo denn? Teufel

Teufel

23.01.2008, 19:21

-C-

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gut,ich weiss zwar jetzt nicht,was ich falsch gemacht habe,aber das bild soll so schonmal aussehen,danke.

allerdings.... hilft mir jetzt auch jemand mit den Aufgaben oder eher weniger?

23.01.2008, 19:21

vektorraum

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Jetzt hast du ja schonmal ein Bild, fangen wir also mit Aufgabe 1 an.

Ich hoffe du siehst die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt.

Kannst du wenigstens den Ansatz aufschreiben?

Durch welche Stellen wird die Fläche "begrenzt"???

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23.01.2008, 19:25

-C-

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das ist klar, von -3 bis 0 unterhalb der x-Achse die Fläche....

wie ich das allerdings rechnerisch verwende weis ich ehrlich nicht...

(PS: Schonmal danke,dass du dir überhaupt Zeit nimmst)

23.01.2008, 19:26

vektorraum

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Von Integralrechnung hast du aber auch schon mal was gehört?

23.01.2008, 19:29

-C-

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Ich habe doch im ersten BEitrag gesagt,dass wir das Thema erst angefangen haben,seit diesem Montag.

Ich denke zwar,dass ich nun die Stammfunktion brauche,weiss aber nicht,wie sie zu verwenden ist.

(1/12)x^4+(2/3)x^3+3

(stimmt die so?)

23.01.2008, 19:29

hasesh

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RE: Wir fangen mit Integralen an und ich komm nicht mit.

Zitat:

Original von -C-
Hallo!
Ich hoffe sehr jemand zeigt sich gütig und hilft mir mit einer Integralaufgabe klar zu kommen,die unsere Hausaufgabe darstellt. Es wäre toll,wenn mir hierbei jemand klar macht, welche Schritte in welcher Reihenfolge zur Lösung der Aufgaben gemacht werden müssen.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 3x \end{eqnarray*}$

Berechnen die den Inhalt der Fläche
a)die der Graph von f mit der x-Achse einschließt
b)zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [-4;0]
c)die der Graph von f und die Gerade mit der Gleichung y= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x \end{eqnarray*}$ einschließt
d)die vom Graphen von f, der Normalen in P(-2|- $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ) und der Normalen im Ursprung begrenzt wird.

So, das wäre es. Ich kannl nun von keinem erwarten,direkt alle zu lösen, also wäre es nett davor hinzuschreiben welcher Aufgabenteil es ist. Es müssen ja nichtmal Lösungen sein, sondern viel mehr die einzelnen Schritte die zu machen und die Formeln die zu benutzen sind. Das würde mir schon sehr viel helfen.

Bitte findet sich jemand!
mfg C

Moin!

zu a) Was bedeutet es denn, wenn du die Fläche berechnen sollst, die der Graph mit der y-Achse einschliesst?

Bestimme zunächst die Nullstellen der Funktion. Sind es zwei, hast du schon das Intervall für die Integration.

Wie bildet man denn eine Stammfunktion?

Hier die Potenzregel: aus $\begin{eqnarray*} c*x^n wird \frac{1}{n+1}*c*x^{n+1} \end{eqnarray*}$

poste doch mal das Intervall und die Stammfunktion...

smile

smile

23.01.2008, 19:34

-C-

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habe ich(wenn es so stimmt) bereits einen Beitrag über dir gemacht (hast vermutlich während dessen schon geschrieben)

(1/12)x^4+(2/3)x^3+3

und das intervalls ist -3/0

23.01.2008, 19:34

vektorraum

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Zitat:

Original von -C-
Ich denke zwar,dass ich nun die Stammfunktion brauche,weiss aber nicht,wie sie zu verwenden ist.

(1/12)x^4+(2/3)x^3+3

(stimmt die so?)

Nein. Der letzte Summand ist falsch. Der erste Teil stimmt.

Schreibe bitte jedoch davor

F(X)=...

als Bezeichnung für eine Stammfunktion.

@haseh: du hast da einige Fehler drin. Es ist nicht die y-Achse. Außerdem müsstest du die Potenzregel mal sauber formulieren. So geht das doch nicht geschockt

geschockt

23.01.2008, 19:37

-C-

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oje,vergessen..

F(x)=(1/12)x^4+(2/3)x^3+(3/2)x^2

23.01.2008, 19:40

vektorraum

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Das ist so okay. Weiter gehts. Prinzipiell haben wir also jetzt folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{0}f(x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Wie gehts weiter?

23.01.2008, 19:43

-C-

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Genau das ist es,womit ich nicht klarkomme,weder in der Schreibweise,noch im Verständnis an sich... an der Stelle mache ich immer die Fehler. Man muss jetzt die mit der unteren Grenzzahl eingesetzte Stammfunktion von der mit der oberen Grenzzahl eingesetzte Stammfunktion abziehen unter Verwendung von Betragstrichen, richtig?

Da kommt bei mir stets nichts Sinnvolles raus und vor allem immer was anderes.

23.01.2008, 19:50

vektorraum

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Okay.

Obiger Ansatz steht schon mal da. Da wir wissen, dass die Fläche unter der x-Achse liegt, betrachten wir den Betrag davon, da kein negativer Flächeninhalt rauskommen kann.

Also:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{0}|f(x)|~\dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du die Stammfunktion schon berechnet. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{0}|f(x)|~\dd x=[|F(x)|]_{-3}^{0} \end{eqnarray*}$

Du setzt jetzt zuerst den oberen Wert ein, und ziehst den Wert, den du durch einsetzen von 0 erhälst, einfach wieder ab, d.h. in etwa so

$\begin{eqnarray*} [|F(x)|]_{-3}^{0}=|F(0)-F(-3)| \end{eqnarray*}$

Dann müsstest du auf genau eine Lösung kommen.

23.01.2008, 19:55

hasesh

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-3}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

= [ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}*x^4+ \frac{2}{3}*x^3+ \frac{3}{2}*x^2 \end{eqnarray*}$ ]

und dann F(b) - F(a) bilden

F(b) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}*(0)^4+ \frac{2}{3}*(0)^3+ \frac{3}{2}*(0)^2 \end{eqnarray*}$
F(-3) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}*(-3)^4+ \frac{2}{3}*(-3)^3+ \frac{3}{2}*(3)^2 \end{eqnarray*}$

usw.

alles klar?!

23.01.2008, 19:59

-C-

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also wenn am ende nun 9/4 rauskommt, dann ja.
hat das einer von euch geprüft?

23.01.2008, 20:07

hasesh

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jo, 2,25 hab ich auch raus. smile

smile

23.01.2008, 20:13

-C-

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Das stellt für mich schon einen rießen erfolg dar, vielen Dank.

bei der b ist nun statt -3 einfach -4 einzusetzen,oder?

wenn dem so is, kann die gerne weggelassen werden.

dann zur c)

hier habe ich jetzt eine gerade... wie muss ich nun vorgehen?
brauche ich von der gerade eine Stammfunktion?
Muss ich punkte die mit der Funktion f schneiden errechnen?
wie setze ich ein?
ich komme mir so ahnungslos vor....

Aber vielen Dank euch allen bis hierher, es ist schön, zu wissen, dass es menschen gibt, die sich mit kleinen Problemen auseinander setzen.

23.01.2008, 20:31

Mulder

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Zitat:

ich komme mir so ahnungslos vor....

Warum? Ist doch gar nicht so falsch, was du dir überlegst. Du brauchst die Stammfunktion der Gerade, richtig. Wenn du Flächen berechnen willst, brauchst du immer die Stammfunktion, hattest du ja schon gesagt.

Nun musst du aber erst einmal die Integrationsgrenzen festlegen. Hast du dir das Bild dazu mal angeschaut? Wie verläuft die Gerade?
Du brauchst nun, wie du schon richtig vermutet hast, die beiden Schnittpunkte des Graphen von f und der Geraden y.

Weißt du schon, was dann damit zu tun ist? smile

smile

23.01.2008, 20:37

-C-

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Zitat:

Original von -C-

ich komme mit dem plot programm nicht klar....
y= (1/3)x lautet die gerade, muss also im für die fläche relevanten Teil 3x schneiden,was 2 flächen ergibt, wenn ich mir das gerade richtig vorstelle...

aber leider muss ich dich enttäuschen... ich weiss wieder nicht was zu machen ist.

die stammfunktion (1/6)x^2 kriege ich ja hin.... aber mehr nicht

die schnittpunkte sind ja mit gleichsetzung der funktionen zu ermitteln. Muss ich nun stammfunktionen oder normale funktionen gleichsetzen?

23.01.2008, 20:43

Mulder

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Zitat:

ich komme mit dem plot programm nicht klar....

Ich auch nicht. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

die schnittpunkte sind ja mit gleichsetzung der funktionen zu ermitteln. Muss ich nun stammfunktionen oder normale funktionen gleichsetzen?

Überleg mal. smile

smile

Es geht um die Fläche, die der Graph von f und die Gerade y einschließen. Du musst nun ermitteln, auf welches Intervall sich genau diese Fläche erstreckt. Also?

Zitat:

die stammfunktion (1/6)x^2 kriege ich ja hin.... aber mehr nicht

Immerhin schon mal was. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das brauchen wir auch noch.

23.01.2008, 20:47

-C-

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also muss ich wohl die normalen funktionen gleichsetzen( ich rechne mal aus..)

23.01.2008, 20:50

-C-

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ich bekomme nichts raus, bei mir steht unter der Wurzel eine negative Zahl. -.-

23.01.2008, 20:59

-C-

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fehler gefunden

habe 0,-2 und -4 raus

23.01.2008, 21:00

Mulder

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Kann es sein, dass du $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ mit der Gerade y gleich gesetzt hast?

23.01.2008, 21:05

-C-

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-4 und 0 nehm ich an

jetzt muss ich sonen rießen term aufstellen....

0 in y einsetzen und -4 in y eingesetzt abziehen
0in F(x) einsetzen und -4 in F(x) eingesetzt abziehen

aber welche der beiden zeilen ziehe ich von welcher ab?
wie kann ich das erkennen?

23.01.2008, 21:08

Mulder

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Zitat:

-4 und 0 nehm ich an

Du nimmst an? Und warum? Hoffentlich nicht einfach geraten... Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2008, 21:10

-C-

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weil vom schaubild aus -4 der kleinste punkt und 0 der größte ist.
den in der mitte kann ich ja durch Verwendung von Betragsstrichen vernachlässigen,ja?

23.01.2008, 21:17

Mulder

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Schau mal. Das sind der Graph von f und die Gerade y:

Bist du sicher, dass du die richtigen Schnittpunkte gewählt hast?

23.01.2008, 21:20

-C-

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eigentlich schon oo'

ich soll doch beide flächen zusammen berechnen,oder nicht?

links werden die flächen durch (-4|y) begrenzt und rechts durch (0|0)

hab ich nen denkfehler?

23.01.2008, 21:22

Mulder

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Zitat:

hab ich nen denkfehler?

Ah, pardon. Nein, der Denkfehler lag bei mir. Nur weiter jetzt. smile

smile

Was ist nun zu tun?

23.01.2008, 21:26

-C-

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jetzt muss ich in die stammfunktion von y -4 einsetzen und 0
dann muss ich das was bei -4 rauskommt von dem,was bei 0 eingesetzt rauskommst abziehen

das gleiche dann auch mit der stammfunktion von f(x), allerdings habe ich diesen wert ja schon, 9/4.

aber was muss ich dann von was abziehen?
y-f oder f-y? wie erkenne ich das?

23.01.2008, 21:34

Mulder

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Zitat:

jetzt muss ich in die stammfunktion von y -4 einsetzen und 0
dann muss ich das was bei -4 rauskommt von dem,was bei 0 eingesetzt rauskommst abziehen
das gleiche dann auch mit der stammfunktion von f(x), allerdings habe ich diesen wert ja schon, 9/4.

Ich vermute, du meinst das richtige. Das ganze sollte aber natürlich auch formal sauber hingeschrieben werden.

Die Fläche, die der Graph von f einschließt, ist gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-4}^{0}~f(x)~dx = [F(x)]_{-4}^0 \end{eqnarray*}$

Und die der Geraden y:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-4}^{0}~y(x)~dx = [Y(x)]_{-4}^0 \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 21:36

-C-

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ja so habe ich das gemeint.gut.

zu dem |a-b|=|b-a|

soll das heißen ab hier ist5 es egal was ich wovon abziehe?

23.01.2008, 21:40

Mulder

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Zitat:

soll das heißen ab hier ist5 es egal was ich wovon abziehe?

Sofern du bedenkst, dass eine Fläche nicht negativ sein kann...

Du kanst ja mal zum Vergleich beide Varianten austesten und die Ergebnisse vergleichen. Wäre ja zugleich eine gute Übung.

23.01.2008, 21:51

-C-

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ok, nach dem Prinzip habe ich 8/3 raus

ob das stimmt werde ich morgen sehen, mühe dich bitte nicht auch noch ab,das für mich zu prüfen,du hast schon ohnehin sehr viel für mich getan. smile

smile

die d) würde sich jetzt wahrscheins sehr ziehen...... ich werde schauen,dass mir der lehrer da nochmal auf die Sprünge hilft, für eine teilaufgabe hat er sicher verständnis.

Mein tiefster Dank an dich und alle anderen die geholfen haben!

23.01.2008, 21:57

Mulder

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Du hast da noch einen Fehler drin, bzw. ich habe nicht aufgepasst.

23.01.2008, 21:58

-C-

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oje,hast du ihn gefunden?

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