char. Polynom der Drehmatrix

05.07.2005, 11:29	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
char. Polynom der Drehmatrix Moin, moin, Wenn ich das char. Polynom der Drehmatrix bestimmen will muss ich dann $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ von den Argumenten (Winkeln) abziehen, oder wie gewohnt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \cos(\alpha )-\lambda & -\sin(\alpha ) \\ \sin(\alpha ) & \cos(\alpha )-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rechnen?
05.07.2005, 11:45	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Lesen der Definitionen würde ich sagen wie gewohnt, also so wie du es geschrieben hast. Gruß, therisen
05.07.2005, 12:00	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Hab mir auch nochmal die Definition angeschaut, und bin zum Schluss gekommen dass wenn man es über die Winkel machen würde, man ja dann über die Winkelfunktionen wieder reelle Werte bekäme und man dann alles entsprechend umrechnen müsste...da´s dann auf das Gleiche hinauslaufen würde kann man´s sich auch sparen, und wie gewohnt rechnen. Gruß, phi.
05.07.2005, 12:05	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
warum auch nicht? dass ist eine völlig normale reelle matrix..... zum auffinden der eigenwerte sollte dir die pythagoraische 1 helfen.
05.07.2005, 12:19	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo LOED, Genau, dann ist $\begin{eqnarray} \chi = x(x-2\cos\alpha) \end{eqnarray}$ . Das führt mich zur nächsten Frage: Daraus kann man folgern, dass es zu jedem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ reelle Eigenwerte gibt. Und geometrisch interpretiert bedeutet dies, dass alle Punkte die durch Drehung entstehen auf einem Kreis in IR^2 liegen. Hab´ich da richtig gefolgert?
05.07.2005, 12:22	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
huch dein char. polynom stimmt nicht da fehlt ein "+1", das eben aus dem sin^2+cos^2 entsteht ich habe f=x^2-2(cos(a))x+1 als char polynom edit: vorzeichen edit2: argh den 2er auch noch nachgefügt
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05.07.2005, 12:29	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch, ich hab die 1 'verschusselt'. Ich prüf jetzt nochmal neu welche Winkel reele Eigenwerte haben.... Aber ist nicht (cos a -x)^2 = x^2 -2xcos a + cos^2(a), also -2(cos (a))x ? Also: $\begin{eqnarray} \chi = x^2-2x\cos\alpha+1 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt das die Drehmatrix D nur für ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ reelle Eigenwerte hat. Geometrisch interpretiert bedeutet dies... ?
05.07.2005, 13:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
tschuldigung, oben war grad besuch gekommen, deswegen war das so verdreht die 2 muss natürlich hin..... zur geometrischen deutung mal ein paar worte: relativ simpel kannst dir mal überlegen, dass eine drehung eher selten einen vektor auf sich selbst abbildet (was heißt denn drehung?) setz mal pi bzw. 2pi ein und schau dir mal an, welche der drehmatrizen (sind das dann echte drehungen?) eigenwerte haben.
05.07.2005, 14:38	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, danke. 2n pi sind ja immer die Identität, und (2n+1)pi ist Identität mal -1, also gleicher Vektor mit entgegengesetzte Richtung.

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