Betrag(x) ist lipschitz-stetig

23.01.2008, 19:35

Klappergrasmuecke

Betrag(x) ist lipschitz-stetig

Hi Leute, ich möchte für eine Aufgabe zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} b: D \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b(x)=|x| \end{eqnarray*}$ lipschitz-stetig ist.

Würde mich freuen wenn jemand etwas zu meinem Versuch sagen würde.
Also:

Satz: b(x)=|x| ist lipschitz-stetig.

Beweis: Für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x =y \end{eqnarray*}$ ist der Satz trivial, da $\begin{eqnarray*} 0 \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Sei für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} x \not=y \end{eqnarray*}$ die Lipschitzkonstante definiert als $\begin{eqnarray*} L:=\frac{|x+y|}{|x-y|} \end{eqnarray*}$

Dann folgt mit der Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} |b(x)-b(y)|= \left| |x|-|y| \right| \leq |x+y|=L \cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

q.e.d.

23.01.2008, 19:38

Tomtomtomtom

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Das L darf nicht von den Punkten abhängen.

23.01.2008, 19:41

Klappergrasmuecke

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oh, ärgerlich... ist b(x) dann überhaupt lipschitz?

23.01.2008, 19:48

Tomtomtomtom

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Ja. In diesem Fall ist es am einfachsten, die Konstante L zu "erraten", und dann zu zeigen, daß es die richtige ist. Bei wikipedia steht dazu:

Zitat:

L ist salopp gesagt die größte ... vorkommende Steigung von f.

23.01.2008, 19:57

system-agent

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"Die richtige Konstante" $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gibts wohl nicht, eher eine optimale für eine scharfe Abschätzung, das heisst du kannst auch genausogut $\begin{eqnarray*} L=100000 \end{eqnarray*}$ wählen und zeigen dass alles gut geht, denn für die Lipschitzstetigkeit braucht man lediglich die Existenz eines solchen $\begin{eqnarray*} L>0 \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 20:10

Tomtomtomtom

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Das stimmt schon, dass mit jedem L auch alle L'>L passende Lipschitz-Konstanten sind, sieht man ja direkt aus der Definition.

Nur wird in den meisten Anwendungen (beispielsweise dem Fixpunktsatz von Banach) in Fehlerabschätzungen der Faktor L (oder eine Potenz davon) auftauchen, d.h. meistens hat man schon ein Interesse daran, L möglichst klein zu wählen.

23.01.2008, 20:10

Klappergrasmuecke

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RE: Betrag(x) ist lipschitz-stetig
mmmh, die größte Steigung ist Eins, denke ich, wenn ich mir der Graphen von b(x) vor Augen führe.

dann so vielleicht:

Für L=1 gilt:

$\begin{eqnarray*} |b(x)-b(y)|= \left| |x|-|y| \right| = \sqrt{ (|x|-|y|)^2 } = \sqrt{ (x^2 -2 |xy| + y^2) } \leq \sqrt{ (x^2 -2 xy + y^2) }= \sqrt{ (x-y)^2}= |x-y|= L \cdot |x-y| \end{eqnarray*}$

23.01.2008, 21:18

WebFritzi

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"Umgekehrte" Dreiecksungleichung:

$\begin{eqnarray*} \big| |x| - |y|\big| \le |x-y|. \end{eqnarray*}$

Aber dein Beweis dafür ist OK. smile

23.01.2008, 21:22

Klappergrasmuecke

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Vielen Dank an alle für die Hilfe smile

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