Ableitung bilden ?

24.01.2008, 06:20	downunderthunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung bilden ? Hallo, ich versuche seit geraumer Zeit von folgender Gleichung die erste Ableitung zu bilden. Aber vielleicht kann mir ja jemand helfen? $\begin{eqnarray} \frac{(x^{2}+1)\sqrt{(x^{2}-1)}}{3x+2} = y \end{eqnarray*}$ Irgendwie weiss ich gerad nicht, wie man einen Term, der die Potenz 1 durch Irgendwas hat, ausmultipliziert!?! MfG, Rolli alias d u t
24.01.2008, 06:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst ein mal leitet man keine Gleichungen, sondern Funktionen ab Ausmultiplizieren kannst du hier nicht Um das abzuleiten brauchst du eine Kombination aus Quotientenregel (für den Bruch), Produktregel (für das Zählerprodukt) und Kettenregel (für die Wurzel). air
24.01.2008, 14:18	downunderthunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau aber wie sieht das denn konkret bei dieser Funktion aus? d u t
24.01.2008, 14:57	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich dir das etwa vorrechnen Sorry, aber so arbeiten wir hier nicht Fang doch so an: Allgemein hast du mal $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{u}{v} \end{eqnarray}$ . Dafür ist dann $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray}$ (Quotientenregel). Dabei ist: $\begin{eqnarray} u = (x^2+1) \cdot \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = 3x+2 \end{eqnarray}$ Nun brauchst du also auch die Ableitungen von u und v. v abzuleiten sollte kein Problem darstellen. Um u abzuleiten, verwende die Produktregel: $\begin{eqnarray} u = (x^2+1) \cdot \sqrt{x^2-1} = h \cdot g ~\Rightarrow~ u' = h'g + hg' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h = x^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g = \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ . Hier sollte die Ableitung von h kein Problem darstellen. Um g abzuleiten brauchst du schließlich und endlich noch die Kettenregel: $\begin{eqnarray} g = \sqrt{x^2-1} = p(q(x)) ~\Rightarrow~ g' = p'(q(x)) \cdot q'(x) \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} p = \sqrt{x} ~\Rightarrow~ p' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = x^2-1 \end{eqnarray}$ . Und q ableiten ist wieder nicht wirklich ein Hindernis. Arbeite diesen Leitfaden nun einfach von hinten nach vorne durch und dann solltest du zum Ziel kommen. Zugegebenermaßen ist es aber nicht ganz einfach. air Edit: Das Ergebnis ist übrigens nicht unkompliziert. Es braucht zwar nur 'ne halbe Seite zum Ausrechnen, aber der Funktionsterm hats in sich. Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{2x\sqrt{x^2-1}}{3x+2} + \frac{x^3+x}{(3x+2)\sqrt{x^2-1}} - \frac{3(x^2+1)\sqrt{x^2-1}}{(3x+2)^2} \end{eqnarray}$
27.01.2008, 03:06	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich beschleicht das Gefühl, dass ich mir die Arbeit vollkommen umsonst gemacht hab Naja, der Vollständigkeit halber erwähne ich noch, dass man das Ergebnis noch ein Stückchen zusammenfassen kann: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{6x^4+6x^3-3x^2-2x+3}{(3x+2)^2\cdot\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray}$ Damit ist es auch schon wesentlich angenehmer air
27.01.2008, 10:25	legorado	Auf diesen Beitrag antworten »
Umsonst war es nicht, ich hab mir die Aufgabe auch mal angesehen und durchgerechnet. Ich denke, nun weiß ich wie ich an so eine verschachtelte Funktion rangehen muss. mfg legorado
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27.01.2008, 11:36	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön zu hören, dass es doch nicht umsonst war! air

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