Vektoranalysis

05.07.2005, 15:01

slowfox

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Vektoranalysis

Ja Ja...so ist das in der Klausurvorbereitung!

Hier wird gefragt in welchen Punkten das Vektorfeld
$\begin{eqnarray*} \vec{V}=y² \vec{i}-4 \vec{j}+2yx\vec{k} \end{eqnarray*}$ wirbelfrei ist.

Das bedeutet doch das $\begin{eqnarray*} rot\vec{V} = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, oder!?

wenn man das ausrechnet erhält man doch:
$\begin{eqnarray*} rot\vec{V}= \begin{pmatrix} 2x \\ -2y \\ -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann setzt man das 0 und müsste den wirbelfreien Punkt erhalten bei P(0,0,0).

kann mir jamand sagen ob ich damit richtig liege???

Danke!

05.07.2005, 19:30

Seppl

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Hi!

Also ich hab rot(v) nachgerechnet, scheint zu stimmen.

Damit ist dann auch klar, dass nur im Punkt (0,0,0) wirbelfrei is.

05.07.2005, 19:40

AD

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Zitat:

Original von slowfox
wenn man das ausrechnet erhält man doch:
$\begin{eqnarray*} rot\vec{V}= \begin{pmatrix} 2x \\ -2y \\ -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von slowfox
Dann setzt man das 0 und müsste den wirbelfreien Punkt erhalten bei P(0,0,0).

Ein typischer Trugschluss - du hast Komponente $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vergessen, an die überhaupt keine Bedingungen vorliegen.

Also lautet die richtige Antwort: Alle Punkte der z-Achse, d.h. $\begin{eqnarray*} (0,0,z) \end{eqnarray*}$ , z beliebig, sind wirbelfrei.

05.07.2005, 20:08

slowfox

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Super das hat mir weitergeholfen!

Vielen Dank!

05.07.2005, 21:01

derkoch

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@ fox
wer hat denn die aufgabe gestellt?
schilmann oder socher?
oder aus welchem fachbereich bist du?

06.07.2005, 11:21

slowfox

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@derkoch:

Die kenn ich beide Nicht! Bist du auch aus emden oder wie!?
Ich studiere Photonik(Lasertechnik)!

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06.07.2005, 11:34

slowfox

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Kurvenintegral
Ich bins mal wieder!

Hab hier nen Kurvenintegral und weiß nicht genau wie ich das rechnen soll!

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = 4x\vec{i}-4 \vec{j} - 2z\vec{k} \end{eqnarray*}$

Das Vektorfeld müsste schonmal laut integrabilitätsbedingung konservativ sein, oder!?

Und nun soll das Kurvenintegral längs eines Weges vom Ursprung bis zum Punkt P(2,4,4) bestimmt werden.

Ist mein Weg dann einfach nur eine Gerade, oder wie soll man das verstehen!?

06.07.2005, 12:03

AD

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Wenn das Vektorfeld tatsächlich konservativ ist, also Gradient einer Potentialfunktion, dann ist das Wegintegral nur von den beiden Endpunkten abhängig, nicht aber vom Weg dazwischen. Da kannst du natürlich zur Berechnung auch eine Strecke zwischen den beiden Endpunkten nehmen.

Oder es gelingt dir, eine zum Vektorfeld passende Potentialfunktion V mit $\begin{eqnarray*} \nabla V= \vec{F} \end{eqnarray*}$ aufzustellen, dann ist die Berechnung noch einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Konservativität gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \mathrm{rot}~\vec{F} = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

06.07.2005, 12:31

slowfox

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Also das Vektorfeld ist konservativ!

Das heißt also es ist nur von den beiden Endpunkten abhängig!

Sind die Endpunkte dann meine Grenzen, oder wie soll ich das verstehen!
Ich weiß ja auch gar nicht wonach ich integrieren soll...

oh man...irgendwie war das wohl zuviel mathe in den letzten Tagen und das wo Freitag die Klausur ist! *grml*

06.07.2005, 13:01

derkoch

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@ fox!

ist zwar ein bißchen off-topic

ich war in emden. bin jetzt wo anders!
kenne nur schlaak bartning rabe neu gärtner und garen!

06.07.2005, 13:42

slowfox

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@derkoch:

Bartning hab ich noch!

Rabe hatte ich, hat aber aufgehört, Garen jetzt wohl auch!

06.07.2005, 16:06

Seppl

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Hi!

Also es is tatsächlich konservativ.
Deswegen kannst es auf beliebigem Wege integrieren. Schaut nicht schwer aus. Ich denk das leichteste ist es, du führst 3 Integrale aus, einmal nur nach x, einmal y und einmal z. Du gehst zwar einen Umweg, is aber egal smile

smile

.Ich denk die Formel für Kurvenintegrale is dir bekannt.

06.07.2005, 16:45

slowfox

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Wenn ich das integrieren soll sieht das dann so aus?:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~4x~dx+ \int_{0}^{4}~-4~dy+ \int_{0}^{4}~2z~dz \end{eqnarray*}$

wenn das stimmt müsste dann 8 rauskommen!

Aber ich glaube nicht so wirklich das das richtig ist???

06.07.2005, 17:29

AD

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Nein, Seppl meint das so:

Angenommen, es gibt eine Potentialfunktion $\begin{eqnarray*} V=V(x,y,z) \end{eqnarray*}$ . Dann muss gelten $\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial x}=4x \end{eqnarray*}$ . Integriert nach x ergibt sich

$\begin{eqnarray*} V(x,y,z)=2x^2+C_1(y,z) \end{eqnarray*}$

mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ , die von y und z abhängen darf!. Nächster Schritt ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial V}{\partial y}=-4 \end{eqnarray*}$ . Einsetzen des eben erhaltenen Resultats ergibt auch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial C_1}{\partial y}=-4 \end{eqnarray*}$ , also durch Integration

$\begin{eqnarray*} C_1(y,z)=-4y+C_2(z) \end{eqnarray*}$

Den letzten Schritt kannst du dann auch allein...

Aber nochmal, das eben geschriebene ist das Alternativprogramm:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Oder es gelingt dir, eine zum Vektorfeld passende Potentialfunktion V mit $\begin{eqnarray*} \nabla V= \vec{F} \end{eqnarray*}$ aufzustellen, dann ist die Berechnung noch einfacher. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du kannst auch nach wie vor das Kurvenintegral direkt bestimmen, über die Verbindungsstrecke.

07.07.2005, 16:16

slowfox

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Gut wenn ich das weiter mache erhalte ich das was ich oben schon hatte:

nämlich ein Funktion: $\begin{eqnarray*} V(x,y,z)=2x²-4y+z² \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann den Punkt einsetze P(2,4,4) erhalte ich als ergebnis des Kurvenintegrals also 8.

07.07.2005, 16:29

AD

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Da ist er wieder, der berühmt-berüchtigte Vorzeichenfehler. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} V(x,y,z)=2x^2-4y-z^2 \end{eqnarray*}$

(Bitte verwende ^2 statt ² im LaTeX !!!).

Und der Wert des Kurvenintegral ist dann die Potentialdifferenz, also

$\begin{eqnarray*} V(2,4,4)-V(0,0,0) \end{eqnarray*}$ .

08.07.2005, 12:10

slowfox

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oki... dann hab ich das jetzt einigermaßen verstanden!

(Obwohl ich den Vorzeichenfehler nicht finde)

naja jetzt ist sowieso gleich klausur, da bin ich ja mal gespannt!

Also nochmal Danke für die Hilfe!!!

08.07.2005, 12:20

AD

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Irgendwo zwischen

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=181836#post181836 (noch mit $\begin{eqnarray*} -2z \end{eqnarray*}$ )

und

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=181996#post181996 (unterm Integral: $\begin{eqnarray*} +2z \end{eqnarray*}$ )

muss es passiert sein.

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