Weissinger'scher Fixpunktsatz

24.01.2008, 14:06

toasten

Weissinger'scher Fixpunktsatz

Hallo,

ich soll den Weissingerschen Fixpunktsatz beweisen:

Sei E ein Banachraum, $\begin{eqnarray*} A \neq \emptyset \subset \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}p_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe positiver reeller Zahlen.

Bezeichne $\begin{eqnarray*} H: A \rightarrow A \end{eqnarray*}$ eine Abbildung mit

$\begin{eqnarray*} \left\| H^nu-H^nv \right\| \leq p_n \left\| u- v \right\| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u,v \in A, n\in N \end{eqnarray*}$ .

Beim Beweis, dass H genau einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x^{*}\in A \end{eqnarray*}$ besitzt, wollte ich vorgehen wie beim Banachschen Fixpunktsatz.

Angenommen es existieren zwei FP $\begin{eqnarray*} x^{*},y^{*} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} Hx^{*}=x^{*}, Hy^{*}=y^{*} \end{eqnarray*}$ .

wie gehe ich jetzt aber mit $\begin{eqnarray*} H^nx^{*} \end{eqnarray*}$ um? Gilt $\begin{eqnarray*} H^nx^{*} = (x^{*})^n \end{eqnarray*}$ ?

Wenn das so gilt, dann folgt die Eindeutigkeit ja aus
$\begin{eqnarray*} \left\|(x^{*})^n-(y^{*})^n \right\| \leq p_n \left\| x^{*} - y^{*} \right\| \end{eqnarray*}$ .

Wobei man dann beachtet, dass die linke Seite immer größer wird für n gegen unendlich, und rechts p_n gegeb 0 strebt.

Gruß
Torsten

24.01.2008, 16:05

Orakel

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Wenn $\begin{eqnarray*} Hx^*=x^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Hy^*=y^* \end{eqnarray*}$ gilt, so auch induktiv $\begin{eqnarray*} H^n x^*=x^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H^ny^*=y^* \end{eqnarray*}$ , das heißt

$\begin{eqnarray*} |x^*-y^*|=|H^nx^*-H^n y^*|\le p_n|x^*-y^*| \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} p_n\ge 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x^*\neq y^* \end{eqnarray*}$ . Ein Widerspruch. Daraus folgt die Eindeutigkeit.

24.01.2008, 21:08

toasten

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Aber wieso ist denn $\begin{eqnarray*} 1 \leq p_n \end{eqnarray*}$ zwingend ein Widerspruch? $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ strebt doch nur gegen 0, d.h., es gibt $\begin{eqnarray*} p_n > 1 \end{eqnarray*}$ , oder?

Gruß
Torsten

25.01.2008, 12:18

Orakel

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Wegen $\begin{eqnarray*} H^nx^*=x^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H^ny^*=y^* \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} p_n\ge 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2008, 13:23

toasten

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Hmm... verwirrt

...

Zitat:

Original von Orakel
...

$\begin{eqnarray*} |x^*-y^*|=|H^nx^*-H^n y^*|\le p_n|x^*-y^*| \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} p_n\ge 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x^*\neq y^* \end{eqnarray*}$ . Ein Widerspruch. Daraus folgt die Eindeutigkeit.

Damit es ein Widerspruch ist, muss doch eigentlich $\begin{eqnarray*} 0<p_n<1 \end{eqnarray*}$ gelten!? Aber woher weiß ich das?

25.01.2008, 13:55

Orakel

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
wenn $\begin{eqnarray*} p_n\ge 1 \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen zahlen n gilt, so kann (p_n) keine nullfolge sein. das ist ein widerspruch zur konvergenz der reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n\in\mathbb{N}}p_n \end{eqnarray*}$

25.01.2008, 14:39

toasten

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Ah, ja klar. Stimmt. Dass $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert hatte ich ja schon gesagt. Und wenn dann da die Ungleichung steht, dann gilt die ja nur für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p_n \end{eqnarray*}$ für alle n... da stand ich jetzt ein bisschen auf dem Schlauch.

Jetzt steh ich schon vor dem nächsten Problem:

Wenn ich eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ definiere mit
$\begin{eqnarray*} a_1=Ha_0, a_2=Ha_1=H^2a_0, \ldots , a_n=H^na_0 \end{eqnarray*}$

Dann folgt zum einen
$\begin{eqnarray*} \left\| a_{n+1}-a_n \right\| = \left\| Ha_n - Ha_{n-1} \right\| \leq p_1 \left\| a_n - a_{n-1} \right\| \leq \ldots \leq p^n_1 \left\| x_1 - x_0\right\| \end{eqnarray*}$

und damit für alle n>m zum anderen:
$\begin{eqnarray*} \left\| a_n-a_m \right\| \leq \frac{p_1^m}{1-p_1}\left\| a_1 - a_0\right\| \end{eqnarray*}$

Ist es richtig, dass ich die $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ immer potenzieren muss? Weil $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ an sich muss ja nicht zwingend <1 sein.

Es würde nämlich schöner aussehen, wenn man nicht potenziert sondern den Exponent als Fußnote schreibt: nicht $\begin{eqnarray*} p_1^m \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} p_m \end{eqnarray*}$ .

Dann würde ich nämlich schnell beim letzten Schritt sehen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ um eine Cauchyfolge handelt.

Gruß
Torsten

25.01.2008, 18:44

WebFritzi

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz

Zitat:

Original von toasten
Dann folgt zum einen
$\begin{eqnarray*} \left\| a_{n+1}-a_n \right\| = \left\| Ha_n - Ha_{n-1} \right\| \leq p_1 \left\| a_n - a_{n-1} \right\| \leq \ldots \leq p^n_1 \left\| x_1 - x_0\right\| \end{eqnarray*}$

Ist es richtig, dass ich die $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ immer potenzieren muss?

Du MUSST gar nichts. Es ist richtig, was du da gemacht hast, aber nicht zweckmaessig. Beachte

$\begin{eqnarray*} \|a_{n+1} - a_n\| = \|Ha_n - Ha_{n-1}\| = \|H^2a_{n-1} - H^2a_{n-2}\| = \dots . \end{eqnarray*}$

27.01.2008, 22:22

toasten

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RE: Weissinger'scher Fixpunktsatz
Danke, der Hinweis hat mir sehr weitergeholfen Big Laugh

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