Mit dem binomischen Lehrsatz berechnen!

24.01.2008, 19:22

kueken

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Mit dem binomischen Lehrsatz berechnen!

Hey!

Ich habe hier mal wieder eine Aufgabe die mir Kopfzerbrechen bereitet :-(

Diese lautet: Berechnen Sie mit dem binomischen Lehrsatz!

a) ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x - 2y \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} ^{5} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 18^{6} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (20-2)^{6} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} 1,999^{4} \end{eqnarray*}$

Wäre echt super wenn ihr mir helfen könntet!

c) ist die einzigste Zahl, mit der ich was anfangen kann, ob es stimmt???

$\begin{eqnarray*} 1,999^{4} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} (1 + 0,999)^4 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (1 + 1^{-2})^{4} \end{eqnarray*}$
= 1^4 + 4 mal 1³ mal 1^-2 + 6 mal 1² mal 1^-4 + 4 mal 1 mal 1^-6 + 1^-8
= 1^4 + 4 + 6 mal 1^-2 + 4 mal 1^-5 + 1^-8
= 5+ 6 + 4 mal 1^-5 + 1^-8
= 5 + 6 + 4 + 1
= 16

Aber ob das stimmt??
Hab mir schon länger den binomischen Lehrsatz angeschaut aber ich weiß leider nicht wie ich es rechnen soll... :-(

24.01.2008, 19:41

system-agent

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Wollen wir sehen was der Satz sagt:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray*}$
Nun einmal versuchen das aufzuschreiben für kleine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)=\sum\limits_{k=0}^{1}{1\choose k}a^{1-k}b^k=1\cdot a^1b^0+1\cdot a^0b^1=a+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=\sum\limits_{k=0}^2{2\choose k}a^{2-k}b^k=1\cdot a^2b^0+2\cdot a^1b^1+1\cdot a^0b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)^3=\sum\limits_{k=0}^3{3\choose k}a^{3-k}b^k=1\cdot a^3b^0+3\cdot a^2b^1+3\cdot a^1b^2+1\cdot a^0b^2 \end{eqnarray*}$

Und nun bist du dran...

24.01.2008, 19:42

kueken

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$\begin{eqnarray*} (a+b)^1,999=\sum\limits_{k=0}^1,999a^{1,999-k}\cdot b^{k} \end{eqnarray*}$

für c) ???

kann es leider nicht so schreiben wie ich will :-( aber hoffe du weißt was ich meine.

wenn das wirklich stimmen sollte.... kann ich da doch nix ausrechnen...

24.01.2008, 19:44

system-agent

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unglücklich

Was ist denn bei c) dann $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ???

24.01.2008, 19:46

kueken

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ne, hab ja volle Sch*** geschrieben Big Laugh

Big Laugh

also könnte es so sein:

(1,999)^4 = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^4~ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ... und nun, kann ja nicht einfach 1,999 in a und b aufteilen...

24.01.2008, 19:47

kueken

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was a und b ist weiß ich leider auch nicht... zusammen 1,999 aber einzelnd..?

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24.01.2008, 19:49

system-agent

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Zitat:

Original von kueken

(1,999)^4 = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^4~ \begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist blödsinn...

Du hast doch schon mal $\begin{eqnarray*} 1.999=1+0.999 \end{eqnarray*}$ geschrieben...

24.01.2008, 19:56

kueken

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na toll.... aber wie mache ich denn weiter?

24.01.2008, 20:00

system-agent

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Vielleicht sagst du erstmal WO es bei dir hakt, denn so kompliziert ist die Gleichung ja nicht, man muss nur die Definition der Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} {x\choose k} \end{eqnarray*}$ raussuchen für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber wenns solche Aufgaben gibt, dann muss das auch in der Vorlesung stehen

24.01.2008, 20:05

Calvin

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Zitat:

Original von system-agent
Du hast doch schon mal $\begin{eqnarray*} 1.999=1+0.999 \end{eqnarray*}$ geschrieben...

Entschuldigt, wenn ich mich kurz einmische. Das ist zwar richtig, ich vermute aber, dass es am Sinn der Aufgabe vorbeigeht. Ob man jetzt $\begin{eqnarray*} 1,999^4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 0,999^4 \end{eqnarray*}$ ausrechnet, ist ziemlich egal. Beides ist ohne Taschenrechner und ohne binomischen Lehrsatz eine extrem lästige Aufgabe.

Ich gehe mal davon aus, dass man $\begin{eqnarray*} 1,999^4 \end{eqnarray*}$ ohne Taschenrechner bestimmen soll. Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und $\begin{eqnarray*} 1,999=2-0,001 \end{eqnarray*}$ ist das deutlich besser möglich.

Und jetzt: weitermachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.01.2008, 20:07

system-agent

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Kannst dich gern einmischen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, von ohne TR stand ja bisher nichts da... Big Laugh

Big Laugh

24.01.2008, 20:10

Calvin

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Mit TR ist die Aufgabe aber albern und der binomische Lehrsatz vollkommen unnötig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber warum einfach wenn es auch kompliziert geht Big Laugh

Big Laugh

24.01.2008, 20:14

kueken

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ist den das was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben hab falsch?

24.01.2008, 20:18

system-agent

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Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} 0.999^4=0.996006 \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 20:21

kueken

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und 1^4 = 1 .... d.h. es wäre

1,999^4 = 1,996006..... aber dann habe ich das doch nicht mit dem binomischen Lehrsatz ausgereschnet... :-(

24.01.2008, 20:30

kueken

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wenn ich aber 1,999^4 direkt ausrechne, komme ich auf 15,968034.... kann doch also eigentlich nicht stimmen, oder!?!

24.01.2008, 20:30

system-agent

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Das ist doch auch falsch:
$\begin{eqnarray*} 1.999^4=15.968 \end{eqnarray*}$

Du darfst doch nicht einfach
$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=a^n+b^n \end{eqnarray*}$
setzen, das ist fast immer falsch !

24.01.2008, 20:35

kueken

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naja, stimmt!! aber wie das bis jetzt ist, ist das ganze ja nicht mit dem binomischen Lehrsatz ausgerechnet.. :-(

wenn ich jetzt schreiben würde...

(1 + 0,999) $\begin{eqnarray*} ^4 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^4~ \begin{pmatrix} 4 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1^{4-i} 0,999^i \end{eqnarray*}$

würde das stimmen??

24.01.2008, 20:40

system-agent

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Das stimmt. Und nun musst du eben noch die Summe aufdröseln !

24.01.2008, 20:42

kueken

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hier liegt leider mein problem. ich habe keine ahnung wie man die formel auflöst :-(

kannst du mir vllt ein Beispiel geben mit einer anderen Zahl und ich versuche es hierdrauf anzuwenden?? bzw. zu übertragen??

24.01.2008, 20:46

system-agent

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In meinem ersten Beitrag siehst du Beispiele...

Wie gesagt, du brauchst noch die Definition von $\begin{eqnarray*} {x\choose k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 21:00

kueken

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unglücklich

sorry aber ich verstehe das nicht unglücklich

unglücklich

24.01.2008, 21:02

system-agent

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Was denn genau nicht?

25.01.2008, 09:02

kueken

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Zitat:

Original von system-agent
In meinem ersten Beitrag siehst du Beispiele...

Wie gesagt, du brauchst noch die Definition von $\begin{eqnarray*} {x\choose k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

und dann mein geschriebenes ausrechnen :-(

25.01.2008, 09:16

system-agent

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Wollen wir mal sehen, ob wir
$\begin{eqnarray*} 1.999^2 \end{eqnarray*}$
verstehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 1.999^2=(1+0.999)^2=\sum\limits_{k=0}^2{2\choose k}1^{2-k}0.999^k={2\choose0}1^20.999^0+{2\choose 1}1^10.999^1+{2\choose2}1^00.999^2 \end{eqnarray*}$

Nun muss man wissen, dass $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} 1^n=1 \end{eqnarray*}$ , dann wird daraus schon mal:
$\begin{eqnarray*} {2\choose0}+{2\choose 1}0.999+{2\choose2}0.999^2 \end{eqnarray*}$

Nun die Definition des Binomialkoeffizienten:
$\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Also, ist (mit $\begin{eqnarray*} 0!=1 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} {2\choose0}=\frac{2!}{0!(2-0)!}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {2\choose 1}=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {2\choose2}=\frac{2!}{2!(2-2)!}=1 \end{eqnarray*}$

Nun zusammensetzen:
$\begin{eqnarray*} 1.999^2=1+2\cdot0.999+0.999^2 \end{eqnarray*}$

Und mit dem Tipp von Calvin weiter vorne hat man auch die Chance das ganz ohne TR zu rechnen...

25.01.2008, 11:30

kueken

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[quote]Original von system-agent
Wollen wir mal sehen, ob wir
$\begin{eqnarray*} 1.999^2 \end{eqnarray*}$
verstehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 1.999^2=(1+0.999)^2=\sum\limits_{k=0}^2{2\choose k}1^{2-k}0.999^k={2\choose0}1^20.999^0+{2\choose 1}1^10.999^1+{2\choose2}1^00.999^2 \end{eqnarray*}$

Auch auf die Gefahr hin das du mich für ganz dumm hälst, ich weiß nicht wie du am Ende auf 2\choose0}1^20.999^0+{2\choose 1}1^10.999^1+{2\choose2}1^00.999^2 bzw. genauer gesagt auf die 2 über 0, auf die 2 über 1 und die 2 über 2 kommst... :-(

d.h. schonmal wenn ich bis hierher auf meine Aufgabe übertragen würde... käme raus:

$\begin{eqnarray*} 1.999^4=(1+0.999)^4=\sum\limits_{i=0}^4{4\choose i}1^{4-i}0.999^i={4\choose0}1^40.999^0+{4\choose 1}1^30.999^1+{4\choose2}1^20.999^2+{4\choose 3}1^10.999^3+{4\choose 4}1^00.999^4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit??

Daraus wird dann:

$\begin{eqnarray*} {4\choose0}+{4\choose 1}0.999+{4\choose2}0.998001^2+{4\choose3}0.997002999^2+{4\choose4}0.996005996^2 \end{eqnarray*}$

oje.... aber müsste doch stimmen vorausgesetzt die Klammern stimmen ;-)

Nun zur Definition des Binomialkoeffizienten:

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Also, ist (mit $\begin{eqnarray*} 0!=1 \end{eqnarray*}$ )... daraus folgt ja dann:

$\begin{eqnarray*} {4\choose0}=\frac{4!}{0!(4-0)!}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {4\choose 1}=\frac{4!}{1!(4-1)!}= 1,\vec{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {4\choose2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {4\choose3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}= 1,\vec{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {4\choose 4}=\frac{4!}{4!(4-4)!}=1 \end{eqnarray*}$

Und nun "nur noch" zusammensetzen!?!
$\begin{eqnarray*} 1.999^4=1+1,\vec{3}\cdot0.999+0,998001+1,\vec{3}\cdot0,997002999+0,996005996 \end{eqnarray*}$

stimmts?

und das wäre... = (ungefähr) 5.655344328

puh... hoffentlich stimmts.... verwirrt

verwirrt

25.01.2008, 12:43

system-agent

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Ich komm auf diese Binomialkoeffizienten, weil diese in der binomischen Formel drinstehen....

Und nein, dein Ergebnis ist falsch ! Das liegt an der Berechnung der Binomialkoeffizienten. Einen davon, mach ich dir mal noch vor, aber dann wirst es wohl auch selbst können smile

smile

$\begin{eqnarray*} {4\choose 2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4!}{2!\cdot2!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1\cdot2\cdot1}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6 \end{eqnarray*}$

Du solltest dir wirklich nochmals die Bedeutung der Summenzeichen und der Binomialkoeffizienten ansehen....

25.01.2008, 16:00

kueken

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so!!!

smile

jetzt müsste es stimmen,....

$\begin{eqnarray*} {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Also, ist (mit $\begin{eqnarray*} 0!=1 \end{eqnarray*}$ )... daraus folgt ja dann:

$\begin{eqnarray*} {4\choose0} \end{eqnarray*}$ = 4
$\begin{eqnarray*} {4\choose 1} \end{eqnarray*}$ = 4
$\begin{eqnarray*} {4\choose2} \end{eqnarray*}$ =6
$\begin{eqnarray*} {4\choose3} \end{eqnarray*}$ =4
$\begin{eqnarray*} {4\choose 4} \end{eqnarray*}$ =1

Und nun "nur noch" zusammensetzen!?!

25.01.2008, 16:08

system-agent

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Es ist immernoch
$\begin{eqnarray*} {4\choose0}\neq4 \end{eqnarray*}$
aber die restlichen sind OK Freude

Freude

Ja, jetzt eben die Summe mit den einzelnen Zahlen zusammensetzen...

Apropos: wenn du wirklich verstanden hast, was es mit den Binomialkoeffizienten und deren Berechnung auf sich hat, dann sei dir das Pascal'sche Dreieck empfohlen (bei Wikipedia hier). Aber wirklich erst wenn du mit den Binomialkoeffizienten sicher umgehen kannst !

25.01.2008, 19:11

kueken

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$\begin{eqnarray*} {4\choose0}\ \end{eqnarray*}$ =1 (sry, hab ich hier richtig stehen, hab mir nur vertippt

Danke!!!

25.01.2008, 20:18

WebFritzi

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Man, kueken, ey... Mach doch einfach das, was man dir sagt:

Zitat:

Original von Calvin
Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und $\begin{eqnarray*} 1,999=2-0,001 \end{eqnarray*}$ ist das deutlich besser möglich.

Und jetzt: weitermachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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