Reihe von 1/log(n+1)

24.01.2008, 20:34

Buef

Reihe von 1/log(n+1)

konvergiert diese?

$\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{log(n+1)} \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium

$\begin{eqnarray*} |\frac{ \frac{1}{log(n+2)} } { \frac{1}{log(n+2)} } | = |\frac{log(n+1)}{log(n+2)}| \leq q < 1 \end{eqnarray*}$

da log streng monoton wachsen gilt

$\begin{eqnarray*} log(n+1)<log(n+2) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt bei mir konvergenz!

In der Lösung steht divergenz! Why?

24.01.2008, 20:57

tmo

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aus $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{a_n}{b_n}<1 \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 20:58

Buef

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nicht? hae? hast du ein beispiel?

24.01.2008, 21:00

tmo

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solch ein beispiel kommt in der aufgabe doch vor.

das einfachste beispiel ergibt sich wohl, wenn man auf die harmonische reihe das quotientenkriterium anwendet.

24.01.2008, 21:03

Buef

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ah

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(n+1)}>\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

deshalb divergiert das. meinst du das?

24.01.2008, 21:10

tmo

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ja das ist eine sinnvolle abschätzung. Freude

ist dir denn jetzt auch das hier klar:

Zitat:

Original von tmo
aus $\begin{eqnarray*} a_n < b_n \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} \limsup \frac{a_n}{b_n}<1 \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 21:21

Buef

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nee ist mit immer noch nicht klar, warum das gilt! für mich gilt immer noch das hier

$\begin{eqnarray*} 1>\frac{log(n+1)}{n} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 21:29

tmo

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betrachten wir der einfachheit wegen mal

$\begin{eqnarray*} c_n = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} n < n+1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} c_n <1 \end{eqnarray*}$

gibt es deswegen aber auch ein festes q mit $\begin{eqnarray*} c_n \leq q < 1 \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n? Antwort: Nein!

es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} c_n = 1 \end{eqnarray*}$ und deswegen $\begin{eqnarray*} |c_n-1|=1-c_n<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$
daraus folgt für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} c_n > 1-\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ . ein festes $\begin{eqnarray*} 1-h=q<1 \end{eqnarray*}$ mit der geforderten eigenschaft wäre ein widerspruch.

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