trigonometrische Grenzwertaufgabe

05.07.2005, 20:50

Matze_V

trigonometrische Grenzwertaufgabe

Hallo allerseits,

Ich hab hier eine Aufgabe, an der ich gerade rumknobele und nicht weiterkomme. Vielleicht kann ja jemand helfen !

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } sin(x)^{\frac{1}{cos^{2}(x)}} \end{eqnarray*}$

erst mal streng eingesetzt ergibt sich ja $\begin{eqnarray*} 1^{\infty } \end{eqnarray*}$

Das riecht ja schon mal gewaltig nach L'Hospital !
Allerdings find ich keinen rechten Ansatz um auf $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ umzuformen.

Ich bin dankbar für jeden Tip,

Gruß Matze

05.07.2005, 20:59

brunsi

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RE: trigonometrische Grenzwertaufgabe
mach doch mal die ableitungen.

was ergibt sich für cos²(x) wenn du da deinen wert einsetzt?

was ergibt sich für sin(x), wenn du da deinen wert einsetzt?

05.07.2005, 21:33

Calvin

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RE: trigonometrische Grenzwertaufgabe
@brunsi

ich weiß nicht, ob ich dich richtig verstehe, aber um die Regel von l'Hospital anwenden zu können, muss man erst zu einen Ausdruck der Form 0/0 oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ umformen.

@Matze_V

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} a^b=e^{\ln(a^b)}=e^{b\ln(a)} \end{eqnarray*}$ .

05.07.2005, 21:58

Matze_V

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RE: trigonometrische Grenzwertaufgabe
@brunsi

Für $\begin{eqnarray*} x -> \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$
geht $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ gegen 1
und $\begin{eqnarray*} cos^{2}(x) \end{eqnarray*}$ gegen 0
somit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^{2}(x)} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$
oder nicht ?

@Calvin

Ja, das ist mir klar, allerdings ist mir nicht klar wie ich den o.g. Term auf $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$ umformen kann !!

05.07.2005, 22:07

Matze_V

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Wenn ich nach $\begin{eqnarray*} exp (\frac{1}{cos^{2}(x)}*ln(sin(x)) ) \end{eqnarray*}$ umforme
komme ich aber trotzedem nicht weiter, da ich ja dann im Exponenten $\begin{eqnarray*} \infty * 0 \end{eqnarray*}$ stehen habe. Oder kann ich den Exponenten selbst als
unbestimmten Ausdruck behandeln den ich dann nach L'Hospital ableiten kann ??

05.07.2005, 22:13

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Ist vielleicht nicht so einfach zu erkennen:

Wenn man $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ substituiert, dann gilt $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)=1-\cos^2(x)=1-\frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$ und weiter dann für $\begin{eqnarray*} 0<x<\pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sin(x)^{\frac{1}{\cos^2(x)}}=(\sin^2(x))^{\frac{1}{2\cos^2(x)}}=\left(1-\frac{1}{2z}\right)^z \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} x\to\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ entspricht $\begin{eqnarray*} z\to\infty \end{eqnarray*}$ ...

06.07.2005, 09:12

brunsi

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@Calvin: ich wollte nicht die regel von l'hospital anwenden.

es sollte bei meinem ansatz jeweils überrpüft werden gegen welchen limes der exponent strebt und gegen welchen limes die basis strebt.

anschließend vergleicht man dann...

$\begin{eqnarray*} sin(x)--->1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos²(x)--->0 \end{eqnarray*}$

also jetzt mal zusammengesetzt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}} sin(x)^{\frac{1}{cos^2(x)}}=1^0 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^2(x)}\neq 0 \end{eqnarray*}$

edit: Klammern {} ergänzt

06.07.2005, 13:07

Matze_V

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Hallo allerseits und danke für eure rege Teilnahme bisher.

Vielen Dank an Arthur Dent, den der Ansatz liefert das Ergebniss. Gott

Ich brösel das hier noch mal auf, denn vieleicht hat sich ja doch nen Fehler eingeschlichen.

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2*(cos(x))^{2}} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \frac{1}{2(cos(x))^{2}} ----> \infty \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} z ----> \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (cos(x))^{2}=\frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(cos(x))^{2}} = 2z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (sin(x))^{2}=1-(cos(x))^{2}=1-\frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (sin(x))=(1-\frac{1}{2z})^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (sin(x))^{\frac{1}{(cos(x))^{2}} } =(1-\frac{1}{2z})^{\frac{1}{2}*2z } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{2z})^{\frac{1}{2}*2z }= e^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

So, dass müsste es sein !

@brunsi

Wenn du das Reziprok eines gegen Null strebenden Terms nimmst, geht dieser doch gegen unendlich !

Gruß, Matze

06.07.2005, 13:18

brunsi

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wenn du das sagst??!! ich weiß es nicht und glaube dir das daher einfach mal.

06.07.2005, 13:52

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Zitat:

Original von Matze_V
$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to \infty} (1-\frac{1}{2z})^{\frac{1}{2}*2z }= e^\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$

So, dass müsste es sein !

Ja, das ist es.

Geht übrigens auch mit L'Hospital, angewandt auf die logarithmierte Variante:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} \ln\left((\sin(x))^{\frac{1}{\cos^2(x)}}\right) = \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\ln \sin(x)}{\cos^2(x)} \stackrel{L'H}{=} \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\sin(x)}\cos(x)}{-2\cos(x)\sin(x)} = \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{2\sin(x)^2} = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 14:04

brunsi

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@arthur, wieso kann ich denn diese funktion einfach so logarithmieren und bei der aus nem anderen thread darf ichd as nicht machen!!

jetzt ahste mich richtig verwirrt. bitte helf mir!!

06.07.2005, 14:09

therisen

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Hallo Brunsi,
ich glaube Arthur meint folgendes:

$\begin{eqnarray*} x=e^{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

06.07.2005, 14:12

Matze_V

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Vielen Dank Arthur, hab jetzt auch nach mehrfachem Überlesen die Rechenregel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}b^{f(x)}= b^{\lim_{x \to a}f(x)} ; b>0 \end{eqnarray*}$ gefunden Hammer

Vielen Dank an alle die sich beteiligt haben,

Gruß Matze

06.07.2005, 14:14

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Off-topic: Tut mir leid, brunsi, in dem bewussten Thread bin ich mit meinem Latein am Ende. Dort ersetzt du einfach mir-nichts dir-nichts den Ausdruck $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \ln n \end{eqnarray*}$ und begreifst nicht, dass das nicht geht.

Hier ist das was völlig anderers: Wenn man $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0} \ln(f(x))=g \end{eqnarray*}$ berechnet, dann folgt aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \lim\limits_{x\to x_0} e^{\ln(f(x))}=e^{\lim\limits_{x\to x_0} \ln(f(x))}=e^g \end{eqnarray*}$

Da wird kein Logarithmus einfach so reingemogelt oder weggelassen!

06.07.2005, 14:19

brunsi

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ok. danke @therisen und an Arthur, jetzt weiß ich was hier sache ist und was in dem bewussten anderen thread

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