Stammfunktion berechnen!

24.01.2008, 21:43

purediamond

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Stammfunktion berechnen!

Hi Leute,

versuche die ganze Zeit eine Stammfunktion herauszukriegen.
Sollte nicht so schwer sein, nur wir haben das erst seit letzter Stunde und ich kriege das irgendwie nicht hin. Also diese ganz einfachen kann ich z,B. f(x)= 2x^-2 oder so...

Aber nun haben wir eine Aufgabe: Geben sie eine stammfunktion von f an . schreiben sie dazu den funktionswert von f als summe.

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=(x²+2x)/x^4 \end{eqnarray*}$

b) f(x)= (x³+1)/2x²

Wie soll man das als Summe schreiben? Wie kann ich einen Bruch denn so umformen, dass ich die Stammfunktion bestimmen kann?

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. danke.

p.s.: wie mache ich einen bruch mit diesem latex code? smile

smile

24.01.2008, 21:48

Vieta

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Du kannst ja den Bruch so auseinanderziehen, dass du zwei einzeilne Summanden da stehen hast
$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 21:55

purediamond

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hups stimmt!
so grundlegende sachen fallen mir irgendwie oft nicht ein. Finger1

Finger1

also mache ich draus x²/x^4 + 2x/x^4
und kürze das zu 1/x² + 2/x^3
was umgeformt wiederrum x^-2 + 2x^-3 ergibt?

und dann.. bilde ich die stammfunktion:

-1/x + -1/x²

stimmt das??

danke!

24.01.2008, 21:58

Mulder

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p.s.: wie mache ich einen bruch mit diesem latex code?

code:
1:	\frac{a}{b}

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Hier: -> http://www.matheboard.de/formeleditor.php#

24.01.2008, 22:02

purediamond

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dankesehr. habe bei dem fragezeichen geguckt und bin irgendwie nicht fündig geworden.

habe jetzt die zweite aufgabe, also b versucht.
stimmt das so bis hierhin?? :

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x³}{2x²} + \frac{1}{2x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x + 2x^-2 \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:05

Vieta

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Eins nach dem anderen: Konzentrieren wir uns nochmal auf Aufgabe 1:

Das ist vom Prinzip her richtig, allerdings ist deine Aufleitung etwas komisch...

Fassen wir das gesagt nochml kurz zusammen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}~dx=???+C \end{eqnarray*}$
Was musst du anstelle der Fragezeichen einsetzen?

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24.01.2008, 22:10

purediamond

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hö wie einsetzen?
muss ich das nicht einfach erstmal umformen, so:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{-2} + 2x^{-3} \end{eqnarray*}$

dann exponent um 1 erhöhen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{-1} + 2x^{-2} \end{eqnarray*}$

dann mit dem vorfaktor multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} f(x)= -1x^{-1} - 1x^{-2} \end{eqnarray*}$

und das dann halt nochmal umschreiben in:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{-1}{x} + \frac{-1}{x²} \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:20

Vieta

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Zitat:

Original von purediamond
hups stimmt!
so grundlegende sachen fallen mir irgendwie oft nicht ein. Finger1

Finger1

also mache ich draus x²/x^4 + 2x/x^4
und kürze das zu 1/x² + 2/x^3
was umgeformt wiederrum x^-2 + 2x^-3 ergibt?

Ich glaube wir reden gerade aneinander vorbei. Bis zu dem Schritt oben war alles richtig und ich wollte eigentlich, dass du hier anstelle der Fragezeichen mir schön deine Stamfunktion aufschreibst.
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}~dx=???+C \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:23

purediamond

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{1}
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}~dx=\frac{-1}{x} + \frac{-1}{x²}+C \end{eqnarray*}$

?!

24.01.2008, 22:28

Vieta

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DAs stimmt, sry. Ich habe mich gerade mit Auf und- Ableiten verhaspelt gehabt.
smile

smile

Auf zur zweiten Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x + 2x^-2 \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:31

purediamond

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puh, dachte schon habs falsch :-) danke

habe nun als stammfunktion dafür:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{4}x² - 2x^{-1} \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:34

Vieta

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Freude

Allerdings solltest du bei deiner Schreibweise etwas acht geben.

Ich hätte das jetzt so notiert:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \frac{1}{4}x² - 2x^{-1} \end{eqnarray*}$

So wird ersichtlicher, dass es sich um eine Stammfunktion handel.

24.01.2008, 22:37

purediamond

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Ja stimmt.
Das vergess ich andauernd. smile

smile

Vielen Dank!

bin nun bei der nächsten aufgabe :S
Geben sie eine stammfunktion an ohne den funktionsterm auszumultiplizieren:

a) f(x)=(x+4)³
b) f(x)=(4x+1)³

wie soll das denn gehen.. verwirrt

verwirrt

24.01.2008, 22:41

Vieta

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Kennst du die Kettenregel?
Wende sie mal an folgenden Beispielen an und überlege, wie du sie rückgängig machen kannst

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-5)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=.... \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f(x) =5\cdot(x+3)^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=... \end{eqnarray*}$

24.01.2008, 22:50

purediamond

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f(x)= (x-5)³

= f(z)= x³ und z= x-5

f'(x) = 3x² * x ? (war das so?)

und

$\begin{eqnarray*} f(x)= 5*(x+3){^3} \end{eqnarray*}$

öhm weiss gar nicht mehr wie das war mit vorfaktor unglücklich

unglücklich

ich glaube ich habe das total vergessen, weil wir das nur kurz vor den weihnachtsferien gemacht hatten.

hm wie kann ich das rückgängig machen....hmm.. ich weiß nicht..

24.01.2008, 22:54

Vieta

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unglücklich

Die Kettenregel lautet innere mal äußere Ableitung.
Bevor du dich darauf konzentrierst die Kettenregel rückwärts zu machen, mache sie an meinenBeipielen erstmal vorwärts smile

smile

24.01.2008, 23:02

purediamond

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$\begin{eqnarray*} h(x)=(x-5)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)= x³ f'(x)= 3x² g(x)= x-5 g'(x)= x \end{eqnarray*}$

also ist:
$\begin{eqnarray*} h'(x) = 3 * (x-5){^3} * (x) \end{eqnarray*}$

stimmt das?

:S verwirrt

verwirrt

Hammer

24.01.2008, 23:09

Vieta

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Da ich jetzt ins Bett gehe biete ich den Service des Hauses an:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{4\cdot 1}\cdot(x-5)^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-5)^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=3\cdot 1\cdot (x-5)^2 \end{eqnarray*}$

Mit dem \cdot 1 soll die innere Ableitung dargestellt werden, die in diesem Falle eins ist.

Vllt kann ja ein anderer hier übernehmen.

Gn8 Wink

Wink

EDIT: Der Fehlerteufel hatte zugeschlagen...

24.01.2008, 23:15

purediamond

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hm das versteh ich nicht so ganz :-(
danke trotzdem! werd mir das morgen nochmal genauer anschauen!
schlaf schön :-)

25.01.2008, 03:28

Bjoern1982

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Bei deinen beiden Beispielen a) f(x)=(x+4)³ und b) f(x)=(4x+1)³ handelt es sich um Spezialfälle, da die innere Funktion linear ist. Deshalb kann man hier beim Bilden einer Stammfunktion fast genauso vorgehen wie bei den obigen Beispielen, die du am Anfang gerechnet hast, also wo du den Exponenten um 1 erhöht hast und dann durch diesen erhöhten Exponenten dividiert hast. Zusätzlich musst du jetzt nur noch durch die Ableitung der inneren Funktion dividieren und erhälst damit eine mögliche Stammfunktion.
Wie gesagt gilt diese Vorgehensweise NUR in diesem Spezialfall...wie Vieta schon erwähnt hat kannst du dir das auch an der Kettenregel klarmachen.

Gruß Björn

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