Matrizenprodukt

24.01.2008, 22:49	hasesh	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenprodukt Moin, Sei K ein Körper und A = $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M(n x n, K) mit $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ = ( 1 für j = i-1 ; 0 sonst Berechnen Sie $\begin{eqnarray} A^k \end{eqnarray}$ = AA....A für $\begin{eqnarray} 1 \le k \le n \end{eqnarray}$ . Also ich habe zunächst einige Matrizen gebildet: $\begin{eqnarray} A_1 = (0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} A_1 \end{eqnarray}$ ist bereits vor der Multiplikation {0} $\begin{eqnarray} A_2 * A_2 \end{eqnarray}$ multipliziere, erhalte ich X = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_3 * A_3 * A_3 \end{eqnarray}$ multipliziere, erhalte ich X = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soweit, so gut. hieraus würde ich folgern, dass $\begin{eqnarray} A_{n}^n \end{eqnarray*}$ immer die Nullmatrix ergibt. wie kann ich das aber jetzt in eine allgemeine beweisführung packen? vielen dank für eure hilfe!
24.01.2008, 22:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
da würde sich vollständige induktion anbieten. aber wenn ich die aufgabe richtige verstehe, sollst du sogar $\begin{eqnarray} A_n^1, A_n^2 \end{eqnarray}$ , etc. bis $\begin{eqnarray} A_n^n \end{eqnarray}$ ausrechnen

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