Stammfunktion für Rotationskörper

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24.01.2008, 22:51	Absgott	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion für Rotationskörper Hi, ich habe ein Problem mit der Bildung der Stammfunktion für einen Rotationskörper Folgende Funktion liegt vor: $\begin{eqnarray} f(x)=x^2-x-12 \end{eqnarray}$ Intervall ist [-3;4] Nun die Volumenformel lautet ja: $\begin{eqnarray} pi \int_{-3}^{4} [x^2-x-12]^2 dx \end{eqnarray}$ Also müsste man meiner Meinung nach das ganze mit der Kettenregel umformen ist das richtig? Das würde folgendes ergeben: $\begin{eqnarray} (2(x^2-x-12))(2x-13) \end{eqnarray*}$ Wie muss ich weiter vorgehen um den Term am besten vereinfachen um am besten die Stammfunktion zu bilden? Muss ich jetzt die Produktregel anwenden? Bin dankbar für euere Hinweise
24.01.2008, 22:59	cst	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stammfunktion für Rotationskörper Hallo, es gibt hier keinen Grund, den Integranden abzuleiten (Ergebnis wäre außerdem falsch). Multiplizier doch das Quadrat einfach aus: $\begin{eqnarray} [x^2-x-12]^2 = x^4 + \ldots \end{eqnarray}$ Das kannst du dann ganz elementar integrieren. Der Graph soll doch um die x-Achse rotieren, oder? lg cst
24.01.2008, 23:05	Absgott	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt danke das würde bedeuten ich müsste die Stammfunktion zu $\begin{eqnarray} x^4+x^2+144 \end{eqnarray}$ bilden Das wäre dann ja nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray} F(x) = \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{4} x^3 \end{eqnarray}$ Ist das soweit korrekt?
24.01.2008, 23:14	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Absgott, Du hast falsch quadriert, das Ergebnis stimmt nicht! Gruß
24.01.2008, 23:24	Absgott	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm wieso hab ich falsch quadriert? $\begin{eqnarray} (+x^2+x^2)(-x-x)-(-12-12) \end{eqnarray*}$ wäre dann doch die oben genannte Funktion nach dem quadrieren oder?
24.01.2008, 23:33	Absgott	Auf diesen Beitrag antworten »
ah tut mir leid, es ist schon etwas spät und ich bin müde^^ also folgendes ergibt sich nach dem quadrieren: $\begin{eqnarray} x^4-x^2-144 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(X) = \frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray}$ Volumenformel daher: $\begin{eqnarray} V(K) = pi \int_{-3}^{4} (\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3) \end{eqnarray}$ wenn ich nun die jeweiligen Werte einsetze und voneinander abziehe erhalte ich folgdendes Endergebnis: $\begin{eqnarray} V(K)= pi * 223 \frac{1}{15} \end{eqnarray}$ Also das Volumen beträgt dann ungefähr 700,7846*, ist das nicht ein bischen viel für solche ein Intervall?
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24.01.2008, 23:34	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Absgott, der Term hat drei Glieder, und nun muss jedes mit jedem multipliziert werden! $\begin{eqnarray} (x^2 - x - 12) (x^2 - x - 12) = x^4 + x^2 + 144 - 2 x^3 - 24x^2 + 24x) \end{eqnarray*}$ Jetzt noch zusammenfassen! Gruß
24.01.2008, 23:47	Absgott	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} x^4-2x^3-23x^2+24x+144 \end{eqnarray}$ Stammfunktion dazu: $\begin{eqnarray} F(X) = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4-7\frac{2}{3}x^3+12x^2 \end{eqnarray}$ Ist das soweit richtig? Man mittlerweile verzweifel ich an Mathe
24.01.2008, 23:54	Mathegreis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Zusammenfassung ist korrekt. Deine Stammfunktion leider nicht. Wenn Du die Stammfunktion ableitest, muss die Ausgangsfunktion wieder erscheinen. Vor den ersten Faktor gehört bspw. kein Minuszeichen. Überprüfe das vielleicht nochmal, am besten morgen, wenn Du nicht mehr so müde bist. Ich wünsche Dir eine gute Nacht ohne mathematische Albträume! edit: Den letzten Summanden hast Du vergessen zu integrieren. Viele Grüße

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