Zahlen in bestimmter Darstellung

06.07.2005, 02:09

Sabrina1982

Zahlen in bestimmter Darstellung

Guten Abend.... ich habe ein Riesenproblem, denn ich habe heute erfahren, dass ich morgen folgende Aufgabe abgeben muss und bei der Lösung habe ich keine Ahnung:

Sei N>0 eine feste natürliche Zahl.
a) Bestimme die Zahlen, die in der Form x^2+2*N*y^2 dargestellt werden können.
b) Bestimme die Zahlen <101, die in der Form x^2+5*y^2 dargestellt werden können. Was lässt sich über diese Menge sagen?

Es wäre total lieb, wenn ihr mir helfen könntet! Vielen Dank!!!

06.07.2005, 07:32

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Zunächst mal kann man sich wegen $\begin{eqnarray*} (-x)^2=x^2 \end{eqnarray*}$ auf nichtnegative x,y beschränken.

Es ist schwierig, was über a) zu sagen, wenn wir überhaupt nichts über deinen Kenntnisstand in Zahlentheorie wissen. (Ich will jetzt kein "Nichts" hören, sonst können wir das gleich vergessen.) Ganz ohne vorbereitende Betrachtungen wird man dir ja diese Aufgabe kaum aufgebrummt haben.

Bei b) kann man einfach probieren: Aus $\begin{eqnarray*} x^2+5y^2\leq 100 \end{eqnarray*}$ folgt notwendig $\begin{eqnarray*} x^2\leq 100 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x\leq 10 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} y^2\leq 20 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y\leq 4 \end{eqnarray*}$ . Dann musst du ja "nur" noch

$\begin{eqnarray*} M := \left\{ x^2+5y^2 \bigm| 0\leq x\leq 10,\;0\leq y\leq 4 \right\} \cap \{ 0,1,\ldots,100 \} \end{eqnarray*}$

ausrechnen und hast deine Zahlen.

06.07.2005, 09:56

Sabrina1982

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Guten Morgen,

also wir haben zuletzt das quadr. Reziprozitätsgesetz und die Berechnung des Symbols (a/p) gemacht.
Der Aufgabe a) ging auch die Frage nach Kongruenzen etwa derart

x^2+N*y^2 kongruent 0 mod p

mit p=Primzahl voraus. Leider gibt es keine genauere Erläuterung, was bei a) gesucht ist. Da die Zahlen aus x^2+2N*y^2 sicher aber nicht alle Primzahlen sein werden und sie ja auch beliebig groß werden können, tippe ich mal darauf, dass sie alle eine bestimmte modulo-Kongruenz erfüllen werden. Könnte das sein? Weißt Du vielleicht, welche Kongruenz das ist? Sie dürfte ja irgendwie von N abhängen....

Danke schon mal für b) und ganz liebe Grüße!

06.07.2005, 10:31

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Ich bin nicht der große Zahlentheoretiker (hab nie eine Vorlesung dazu besucht), aber ich kenne den Spezialfall N=1:

Für n>0 gibt es genau dann eine Darstellung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=n \end{eqnarray*}$ , wenn alle Primfaktoren p von n mit $\begin{eqnarray*} p\equiv 3\mod 4 \end{eqnarray*}$ in gerader Potenz in n aufgehen. (Für etwaige andere Primfaktoren wie p=2 oder $\begin{eqnarray*} p\equiv 1\mod 4 \end{eqnarray*}$ besteht eine solche Bedingung nicht.)

Für andere N, also $\begin{eqnarray*} x^2+Ny^2=n \end{eqnarray*}$ ist dieses Resultat (und auch der Beweis dafür) nicht übertragbar. Auch nicht Beweisprinzipien, die zu ähnlichen Resultaten führen, zumindest sehe ich es nicht. Für konkrete N ist natürlich immer was machbar, aber N allgemein - ich weiß es nicht. Da musst du auf Leopold warten, der kennt bestimmt was... Augenzwinkern

06.07.2005, 13:15

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich bin nicht der große Zahlentheoretiker (hab nie eine Vorlesung dazu besucht)

das ist nicht dein ernst oder? Jetzt mal ehrlich: Nach all dem,was ich von dir so sehe,war ich der Meinung,dass du dich auf Zahlentheorie spezialisiert hast in deinem Studium. Augenzwinkern

06.07.2005, 13:40

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Bis auf die Grundvorlesung Algebra (1.-3.Semester Grundstudium), wo ein bisschen Restklassenrechnung dabei war (so etwa bis Satz von Fermat) habe ich während meines Studiums nichts mit Zahlentheorie zu tun gehabt. Darüber hinaus gehende Kenntnisse (wie das quadratische Reziprozitätsgesetz usw.) sind reines Hobby... smile

Mein Hauptfach war Stochastik/Statistik. Das hat eher wenig mit Zahlentheorie zu tun.

06.07.2005, 16:38

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Mein Hauptfach war Stochastik/Statistik. Das hat eher wenig mit Zahlentheorie zu tun.

... sondern nur mit den schmutzigen und klebrigen Dingern, die sich da reelle Zahlen schimpfen ...

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