Monotonie einer Funktion

06.07.2005, 02:59

teamkilla

Monotonie einer Funktion

Untersuchen Sie, über welchen Intervallen die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{5} \end{eqnarray*}$ monoton steigend, bzw. monoton fallend ist.

Nach dem Graphen müsste die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{5} \end{eqnarray*}$ über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ steigend sein (steht auch so aufm Lösungsblatt), ich Doofie, krieg aber Folgendes raus:

1) Monoton steigend:
$\begin{eqnarray*} f'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 5x^{4} \geq 0 | : 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{4} \geq 0 | \end{eqnarray*}$ 4te Wurzel
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x) monoton steigend über $\begin{eqnarray*} [0;+\infty] \end{eqnarray*}$
2) Monoton fallend: Umgekehrt erhalte ich dann f(x) monoton fallend über $\begin{eqnarray*} ]-\infty;0] \end{eqnarray*}$

Meine Verständnisfrage: Anscheinend muss man bei $\begin{eqnarray*} x^{4} \geq 0 \end{eqnarray*}$ "aufhören" und nicht noch die 4te Wurzel ziehen, dann käme man zu der o.g. Schlussfolgerung, dass f(x) monoton steigend über ganz R (da hoch4 immer positiv ist).. Aber warum muss ich denn da aufhören? Darf ich nicht die Wurzel ziehen?

06.07.2005, 09:54

Teutone

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Wenn man aus $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ ide Wurzel zieht, kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x^{4}}=\pm x \end{eqnarray*}$ raus.

06.07.2005, 18:03

Frooke

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Aber das kannst Du doch viel «billiger» haben!

Da die Ableitungsfunktion
$\begin{eqnarray*} a(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ ist, ist f ohnehin monoton steigend auf ganz IR! x^4 kann nie negativ sein (im Rellen)

06.07.2005, 18:31

Sephiroth

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wenn x^2 = 1

dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm x \end{eqnarray*}$ = 1 ????

oder doch lieber x = $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 1

wohl schon eher oder?

also x^4 >= 0

(x^4)^(1/4) >= 0^(1/4)

==>

x >= 0 v x <= 0

hope this helps Tanzen

06.07.2005, 23:44

teamkilla

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hej.. mir ist natürlich klar, dass sie in der Tat monoton steigend über ganz R sein muss, was ich mir erhoffte ist eine Erklärung, warum ich rein rechnerisch (s.o.) etwas rauskriege, das sagt "monoton steigend von 0 bis unendlich" und monoton fallen von "-unendlich bis 0".. es hat sicherlich mit dem wurzelziehen zu tun. ich will halt wirklich verstehen, warum das so ist.. das mit der ableitung f'(x)=5x^4 hab ich natürlich kapiert (dass dann die steigung immer positiv ist und somit auch monoton steigend)...

06.07.2005, 23:50

JochenX

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Zitat:

Original von Teutone
Wenn man aus $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ ide Wurzel zieht, kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{x^{4}}=\pm x \end{eqnarray*}$ raus.

igitt, so ist das natürlich falsch (auch wenn du das richtige meinst), denn die wurzel kann nicht +/- alternieren, sie ist eindeutig.

rechts muss |x| stehen!
und das sollte auch gleich die frage des threadstarters klären...

alternativ @threadstarter:
fallunterscheidung: x=0 klar
x>0 klar
x<0 dann ist 4.wurzel(x^4)=-x auch klar

07.07.2005, 11:34

lego

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Zitat:

Original von Frooke
Da die Ableitungsfunktion
$\begin{eqnarray*} a(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ ist, ist f ohnehin monoton steigend auf ganz IR! x^4 kann nie negativ sein (im Rellen)

@topicersteller

da ist doch deine lösung, was brauchst du denn mehr?

überleg dir mal was frooke geschreiben hat

07.07.2005, 16:23

Matze_V

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Für alle $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ gilt für f(x)
wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist f(x) monoton wachsend,
wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1) \geq f(x_2) \end{eqnarray*}$ ist f(x) monoton fallend.

Monotoniegrenzen sind doch nur Extremwerte- die hier nicht vorhanden sind da hier gilt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ - also ist dein Intervall $\begin{eqnarray*} [-\infty ;\infty ] \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir zwar nicht sicher ob man dass so machen kann, aber ich würde jetzt die Intervallgrenzen einfach mal so einsetzen, dass:

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = +\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1)=\lim_{x \to -\infty } x^5 = -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_2)=\lim_{x \to \infty } x^5 = \infty \end{eqnarray*}$

Und damit $\begin{eqnarray*} f(x_1) \leq f(x_2) \end{eqnarray*}$ , also ist f(x) monton wachsend.
Hier sogar streng monoton, da hier immer gilt $\begin{eqnarray*} f(x_1)\neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ .

07.07.2005, 20:47

Frooke

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@Matze_V: Bist Du sicher, dass es in trotz des Sattelpunktes in null streng monoton steigend ist? Redet man da nicht nur von monoton steigend?

(PS: Gut möglich, dass Du recht hast... aber da eben f'(0)=0 könnte man doch auch sagen, dass es eben nicht streng ist...)

07.07.2005, 20:52

JochenX

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ja, es sit STRENG monoton steigend

denn für zwei x-werte gilt:
wenn x0>x1, dann ist auch f(x0)>f(x1) [niemals f(x0)=(x1)]

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