Ungleichungen

25.01.2008, 14:32

wdfgea

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Ungleichungen

Brauche ne kurze Schützenhilfe zu den genannten Ungleichungen:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3x-1}{x+2} \mid < 4 \end{eqnarray*}$
Durch quadrieren werden Beträge, sofern Sie negativ sind, positiv.
Wie genau ich aber vorgehe, weiß ich nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2-x} > \frac {2}{x+1} \end{eqnarray*}$
Bei dieser Ungleichung weiß ich auch nicht so genau, wie ich vorgehen soll.

Vielen Dank für eure Hilfe.

25.01.2008, 14:34

tigerbine

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Wie wäre es mit einer Fallunterscheidung?

25.01.2008, 14:40

wdfgea

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Original von wdfgea
Brauche ne kurze Schützenhilfe zu den genannten Ungleichungen:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3x-1}{x+2} \mid < 4 \end{eqnarray*}$
Durch quadrieren werden Beträge, sofern Sie negativ sind, positiv.
Wie genau ich aber vorgehe, weiß ich nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2-x} > \frac {2}{x+1} \end{eqnarray*}$
Bei dieser Ungleichung weiß ich auch nicht so genau, wie ich vorgehen soll.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Fallunterscheidung ist gut. Ich weiß ja auch, dass ich dazu nur folgendes beachten muss: $\begin{eqnarray*} -4 < \frac{3x-1}{x+2} < 4 \end{eqnarray*}$ . Es entstehen also 2 Ungleichungen. Wie gehe ich aber vor, wenn ich quadrieren möchte? Damit würde ich ein Polynom zweiten Grades erhalten und könnte somit die Nullstellen als meine Lösungsmenge definieren! Hilfe...

25.01.2008, 14:42

tigerbine

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RE: Ungleichungen

Zitat:

Durch quadrieren werden Beträge, sofern Sie negativ sind, positiv.

Was willst du denn quadrieren. Beträge sind nicht negativ. verwirrt

verwirrt

25.01.2008, 14:45

wdfgea

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RE: Ungleichungen
falls der betrag von x negativ ist... Ich weiß ja, Betrag von -2 ist 2...

Das meine ich mit quadrieren. Somit werden negative x, sofern sie negativ sind, beim quadrieren mit berücksichtigt. Du verstehst?
Kennst du das Verfahren mit quadrieren nicht?

25.01.2008, 14:52

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Nein, mit quadrieren haben wir das nie gemacht. aber ich würde es mal versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mach doch mal den ersten SChritt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.01.2008, 15:05

wdfgea

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RE: Ungleichungen
Beispiel:

Hab übrigens den Fehler beim Nachrechnen entdeckt.

Also...

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3x-1}{x+2} \mid < 4 \end{eqnarray*}$
Den Nenner eliminieren

$\begin{eqnarray*} \mid 3x-1 \mid < \mid 4(x+2) \mid \end{eqnarray*}$
ausmultiplizieren.

$\begin{eqnarray*} \mid 3x-1 \mid < \mid 4x+8 \mid \end{eqnarray*}$
Quadrieren.

$\begin{eqnarray*} 9x²-6x+1 < 16x²+64x+64 \end{eqnarray*}$
Zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} 0 < x²+10x+9 \end{eqnarray*}$
pq-Formel.

$\begin{eqnarray*} x1=-9, x2=-1 \end{eqnarray*}$
Lösungsmenge definieren.

$\begin{eqnarray*} L=(-\infty,-9)\bigcup(-1,\infty) \end{eqnarray*}$

Bei der Lösungsmenge bin ich mir aber nicht sicher, ob der Intervall zwischen $\begin{eqnarray*} L=(-9,-1) ohne -2 \end{eqnarray*}$ oder der Intervall, wie ich ihn beschrieben gemeint ist?

Vielleicht kannst du mir dabei nochmal helfen!

Danke

25.01.2008, 15:29

wdfgea

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Jetzt hab ich sie alle abgeschreckt, was??

25.01.2008, 15:30

tigerbine

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Lass einen halt mal tippen, herje. unglücklich

unglücklich

25.01.2008, 15:31

wdfgea

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entschuldige bitte LOL Hammer

LOL Hammer

25.01.2008, 15:40

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Da fehlt ein Schritt. Die Aufgabe lautet:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3x-1}{x+2} \mid < 4,~\quad(I) \end{eqnarray*}$

Nun teilst die Beträge auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{|3x-1|}{|x+2|} < 4 \end{eqnarray*}$

Dann stellst Du um:

$\begin{eqnarray*} |3x-1| <4|x+2| \end{eqnarray*}$

Schreibst alles in den Betrag:

$\begin{eqnarray*} |(3x-1)| <|(4x+8)| \quad (II) \end{eqnarray*}$

Nun quadrierst Du (innen). Dann fallen die Beträge weg:

$\begin{eqnarray*} (3x-1)^2 < (4x+8)^2 \quad (III) \end{eqnarray*}$

Nun löse diese quadratische Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 0< x^2+10x+9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L_{III} = ]-\infty,-9[ ~\cup ~ ]-1,\infty[ \end{eqnarray*}$

Ist eben jetzt nur die Frage, ob die Probleme I, II und III äquivalent sind. Sicher nicht, denn bei I müssen wir ja auf den Nenner achten. Da müssen wir also schon einmal x=-2 ausschließen. Dann kann man von I nach II übergehen.

Fallunterscheidung

$\begin{eqnarray*} 3|x-\frac{1}{3}| <4|x+2| = \begin{cases} -3x+1 < -4x-8 & x < -2 \\ -3x+1 < +4x+8 & -2 \leq x < \frac{1}{3} \\ + 3x-1 < +4x+8 & \frac{1}{3} \leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3|x-\frac{1}{3}| <4|x+2| = \begin{cases} x<-9 & x < -2 \\ -1 < x & -2 \leq x < \frac{1}{3} \\ -9 < x & \frac{1}{3} \leq x \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb \L_{II} = ]-\infty,-9[ ~\cup~ ]-1,\frac{1}{3}[~ \cup~ [\frac{1}{3},~\infty] = \mathbb L_{III} \end{eqnarray*}$

25.01.2008, 15:47

wdfgea

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RE: Ungleichungen
Danke für die Antwort.

Also... Die Fallunterscheidung unten entsprciht nicht der Lösung. Die Lösungsmenge ist schlichtweg, die die ich nannte... Wie kommst du auf den Intervall vor deiner Fallunterscheidung? Warum weisst du, dass der
Intervall außerhalb der Nullstellen und nicht innerhalb dieser ist?

Grüße

Nochmals vielen Dank!

25.01.2008, 15:55

tigerbine

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RE: Ungleichungen
Die Lösungen von II und III sind doch gleich. Du kannst da doch noch zusammenfassen.

Zitat:

Wie kommst du auf den Intervall vor deiner Fallunterscheidung? Warum weisst du, dass der
Intervall außerhalb der Nullstellen und nicht innerhalb dieser ist?

Meinst Du nun bei II oder bei III?

25.01.2008, 15:57

wdfgea

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III.

und woher weißt du, dass in dem Fall die -1 oder -9 im exkl. oder inkl.?
Also geschlossener und offener Intervall?

Grüße

25.01.2008, 16:04

tigerbine

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Über die Gestalt der Parabel (nach oben offen)

25.01.2008, 16:07

wdfgea

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Ich habe auch schon den Fall gehabt, dass eine nach oben offene Parabel einen Lösungsintervall hatte, der von der Parabel eingeschlossen wurde...

Bist du dir sicher? In dem Fall stimmts ja, aber ich kann sicherlich nicht immer von der Parabel auf den Intervall schließen, oder?

25.01.2008, 16:12

tigerbine

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Bitte? Dann ist dort eben nach 0>x²+pq+p gefragt worden. Da musst Du schon flexibel sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2008, 16:15

wdfgea

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Bist du dir sicher, dass du das nur anhand der offenen Parabel sehen kannst? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das meinte ich. Dass du die pq-Formel angewandt hast, habe ich verstanden. smile

smile

Verstehst du mein Problem?

25.01.2008, 16:20

tigerbine

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Ja, da bin ich mir sicher, dass ich das sehen kann. Seien die Nullstellen sortiert ( $\begin{eqnarray*} x_1 \leq x_2 \end{eqnarray*}$ ), dann gilt:

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c > 0 \begin{cases} ]x_1,x_2[ & a < 0 \\ ]-\infty,x_1[~\cup ~]x_2,~\infty[ & a > 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c < 0 \begin{cases} ]x_1,x_2[ & a > 0 \\ ]-\infty,x_1[~\cup ~]x_2,~\infty[ & a < 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

25.01.2008, 16:37

wdfgea

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Es kann aber auch der Intervall, der von der Parabel eingeschlossen ist gemeint sein? Warum ist das hier nicht der Fall?

25.01.2008, 16:38

tigerbine

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Was? In 2 Fällen ist das doch der Fall. unglücklich

unglücklich

25.01.2008, 16:45

wdfgea

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Diese Fallunterscheidung verstehe ich nicht so ganz!

anhand $\begin{eqnarray*} 0>x²+10x+9 \end{eqnarray*}$ oder andersherum $\begin{eqnarray*} 0<x²+10x+9 \end{eqnarray*}$ kann man doch jetzt einfach absehen, ob der Intervall zwischen den Nullstellen oder außerhalb davon gemeint ist??

Im Fall $\begin{eqnarray*} 0<f(x) \end{eqnarray*}$ wird der Bereich unterhalb der x-Achse gemeint?
Im Fall $\begin{eqnarray*} 0>f(x) \end{eqnarray*}$ wird der Bereich oberhalb der x-Achse gemeint?

25.01.2008, 16:47

tigerbine

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Die Fallunterscheidung ist eben ganz allgemein gehalten. Was verstehst Du daran nicht?

Zitat:

Im Fall $\begin{eqnarray*} 0<f(x) \end{eqnarray*}$ wird der Bereich unterhalb der x-Achse gemeint?
Im Fall $\begin{eqnarray*} 0>f(x) \end{eqnarray*}$ wird der Bereich oberhalb der x-Achse gemeint?

Falsch. Genau andersrum.

25.01.2008, 17:05

wdfgea

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Das wollte ich ursprünglich wissen. Aber trotzdem alles sehr aufschlussreich und hilfreich.

Vielen, vielen Dank!

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