Funktionen

06.07.2005, 11:13

joos

Funktionen

HI

kann mir jemand helfen ich will ne Funktion lösen und komm nicht drauf wie unglücklich

Die Aufgabe lautet:

f(x)=a4xhoch4+a2x²+a0
besitzt im Punkt P(2;-6,25) ein Extremum und schneidet die x-Achse an der Stelle x0=3
ermittel a0, a2 und a4
gib die Funktionsgleichung an

wäre schön wenn mir jemand helfen könnte

grüße joos

06.07.2005, 11:17

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
so damit wir das mal für alle leserlich darstellen können:

(P.S.: setze dich mal mit dem Formeleditor auseinander!!)

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0 \end{eqnarray*}$

sollte die funktionsgleichungs o aussehen?

edit: was gilt für ein Extremum,welche Ableitung und welche Bedingung?

welche Gleichung gilt für den Punkt P??

edit2: was musst du tun damit der Graph der Funktion die x-Achse schneidet bei x=...?

welche Funktionsgleichung musst du nehmen, wennd er Graph die x-Achse im Punkt Z(..|0) schneidet?

06.07.2005, 11:25

swerbe

Auf diesen Beitrag antworten »

neben dem, was brunsi schon richtig sagte ist noch anzumerken:

es handelt sich um eine BIQUADRATISCHE gleichung, dh sie weist eine achsensymmetrie auf. was beideutet dies für den anderen extremalpunkt??

gruß swerbe

06.07.2005, 11:25

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
JA genau so sollte sie aussehen aber du hast es ja trotzdem verstanden

Für den Punkt P gilt diese gleichung mehr angaben gibt es nicht.

Ich muss y Nullsetzen

Was fürs Extremum gilt keine ahnung

Ableitung auch keine ahnung

Ich weis es nicht hielf mir einfach bitte

06.07.2005, 11:30

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
für Extremum gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ hilft dir das weiter?

schreib dann hier einfach mal hin,w as du jetzts chon drüber weißt, am besten in form von gleichungen.

06.07.2005, 11:39

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
also ich glaube

$\begin{eqnarray*} f'=0 \end{eqnarray*}$ na dan habe ich die Extremstellen

und weiter

06.07.2005, 11:42

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
so und was ist nun deine gleichung für die bedingung $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ was steht dort für das f'(x)?

f(x)=a4xhoch4+a2x²+a0
besitzt im Punkt P(2;-6,25)

so und was bedeutet das jetzt ? was musst du also hier tun?

06.07.2005, 11:59

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
na dann habe ich das für f(x)

$\begin{eqnarray*} 4a_{4}x^{3}+ 2a_{2}x \end{eqnarray*}$

und wenn ich das ausrechne komme ich auf die Extremstellen

x=0

und die anderen beiden sind $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{\frac{2a_{2}}{4a_{4}}} \end{eqnarray*}$
oder?

06.07.2005, 12:02

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
ähm kleines missverständnis:

du sollst nicht die extrema berechnen, sondern nur die gleichung für die extrema verwenden und da die x-koordinate von P einsetzen.

welche GLEICHUNG erhälst du dann?

06.07.2005, 12:07

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
$\begin{eqnarray*} 4a_42x^{3} +2a_22 \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 12:24

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
Es gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ <--- das ist die bedingung für das extremum

daraus folgt dann die gleichung:

$\begin{eqnarray*} f'(x=2)=4a_4*x^3+2a_2*x=0 \end{eqnarray*}$

Der Punkt P liegt auf dem Graphen $\begin{eqnarray*} G_f \end{eqnarray*}$ , daher gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x=2)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0=y_P \end{eqnarray*}$

Schneidet die x-Achse bei x=3:

$\begin{eqnarray*} f(x=3)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0=0 \end{eqnarray*}$

jetzt hast du 3 Bedingungen, du benötigst aber 4 Bedingungen um deine Funktion zu lokalisieren. wo steckt die 4.deiner meinung nach?

06.07.2005, 12:38

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
aber wenn ich bei f'(x) Px einsetze dann erhalte ich doch die gleichung die ich geschrieben hatte

mir würde nur noch das einfallen

$\begin{eqnarray*} -6,25=a_4\cdot x^{4}+a_2 \cdot x^{2} +a_0 \end{eqnarray*}$

aber was mache ich dann

06.07.2005, 12:51

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen

Zitat:

aber wenn ich bei f'(x) Px einsetze dann erhalte ich doch die gleichung die ich geschrieben hatte

du setzt die x_Koodinate von P für x in die gleichung f'(x) ein. das ist nichtd as was du geschrieben hast.

06.07.2005, 12:55

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
ja das hatte ich aber gemeint smile

aber wie komme ich zu der Funktion die gefragt ist ich muss doch die verschiedenen Variabeln durch Irgendetwas ersetzen damit nur noch eine Unbekannte übrig bleibt.

aber wie mache ich das

06.07.2005, 13:24

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
du brauchst noch eine weiter funktionsgleichung, damit du durch anwendung des additionsverfahrens oder anderer verfahren die variablen verschwinden lassen kannst.

wie kommst du nun an die 4.Bedingung?

die 4.bedingung muss noch aus dem text der aufgabe oder aus der gleichung hervorgehen.

was könnte es also noch sein, was wir noch nicht abgearbeitet haben?

06.07.2005, 13:29

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
mir würde nur noch das einfallen

$\begin{eqnarray*} -6,25=a_4\cdot x^{4}+a_2 \cdot x^{2} +a_0 \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 13:34

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
das haben wir schon.

für ein extremum muss außerdem noch erfüllt sein $\begin{eqnarray*} f''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

bist du denn auch sicher, dass du den gesamten text hier gepostet hast,so wie er vorgegeben war?

06.07.2005, 13:44

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
Eine Funktion f der Form y= $\begin{eqnarray*} f(x)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0 \end{eqnarray*}$
besitz im Punkt P(2;-6,25) ein Extremum und schneidet die x-Achse an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=3 \end{eqnarray*}$

Ermitteln Sie $\begin{eqnarray*} a_0, a_2, a_4 \end{eqnarray*}$ und geben SIe die Funktionsgleichung an

mehr stand da nicht

06.07.2005, 13:48

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
dann nutze aus, dass ie funktion biquadratisch ist, was bedeutet das für deine rechnung?

verbirgt sich hier etwas die 4.Bedingung? Augenzwinkern

das bedeutet, dass die funktion zu welcher Achse ist der Graph dann symmetrsich?

06.07.2005, 13:55

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
Ich könnte durch Substitution x^4 durch z ersetzen
vieleicht so
$\begin{eqnarray*} f(x)=a_4z^2+a_2z+a_o \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 14:07

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
nein ich häng mal nen link an, dannw ird es vielleicht klarer:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=19270

beachte den post von FROOKE, der beschreibt dir das was du zu tun hast. wende das dann auf deine Funktion an.

06.07.2005, 14:21

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
für die gleichung gilt achsensymetrie

also

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$

Wenn ich dan die f(-x) einsetze erhalte ich

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_4(-x)^4+a_2(-x)^2+a_o \end{eqnarray*}$

ist es die ?

06.07.2005, 14:27

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
ich glaube es muss so sein und dann auflösen:

$\begin{eqnarray*} a_4(h+x)^4+a_2(h+x)^2+a_0=a_4(h-x)^4+a_2(h-x)^2+a_0 \end{eqnarray*}$

was kommt da denn nun heraus?

edit: da wo es nötig gewesen ist habe ich a durch h ersetzt.

06.07.2005, 14:40

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktionen
Ich habe raus
$\begin{eqnarray*} 2a_4x^4+2a_2x^2=0 \end{eqnarray*}$

und dann? verwirrt

06.07.2005, 15:05

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

@brunsi

Ich denke, dass hier ganz normal $\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} f(h+x) = f(h-x) \end{eqnarray*}$ würd gelten, wenn Symetrie zur h-Achse überprüft wird!

Denke ich zumindest verwirrt

/edit: Latex

06.07.2005, 15:24

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@mercany: ja das gilt hier auch, weil der punkt auf der x-Achse liegen soll, wenn das was Frooke gesagt hat richtig ist.

aber nur damit es richtig aufgeschrieben ist, habe ich das so angeführt.

aber hiermit zeige ich ja die symmetrie. irgendwie ist heute da beimir der wurm drin.

vielleicht habe ich bei der Formulierung schneidet nicht ganz aufgepasst?

edit1: ich bin mir nicht sicher, ob es auch über den 2.Extremalpunkt geht.

dazu bräuchte man wieder $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ wobei dann für $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ gilt. wenn meine überlegung richtig ist. wie würde dann hier die gleichung aussehen?

06.07.2005, 15:40

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ist mir leider gerade erst aufgefallen!

Was du geschrieben hast stimmt nicht, Dennis.
Das Kriterium f(h+x) = f(h-x) kann hier nicht zutreffen, da es sich hierbei um eine Bedingung für Punktsymmetrie handelt!

Du hast hier aber eine biquadratische Funktion vorliegen, also dementsprechen Achsensymetrie.

Daher muss für Achsensymmetrie bezüglich der Y-Achse f(x) = f(-x) gelten!

Gruß, Jan

06.07.2005, 15:48

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube so

$\begin{eqnarray*} 4a_4(-2)^3+2a_2(-2)=f(x) \end{eqnarray*}$

oder nicht?

06.07.2005, 16:02

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

@mercany: mein kriterium ist schon richtig. das ist das Achsensymmetrie-Kriterium jedoch nicht für den spezialfall der Achsensymmetrie an der y-Achse sondern an eine rbeliebigen senkrechten Achse, die jedoch bekannt sein muss.

in diesem fall ist halt das $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$ damit wäre dass dann achu Achsensymmetrie zur y-Achse.

@joos:

ich würde jetzt einfach sagen, da Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, dass dein 2.Extrempunkt die letzte Bedingung liefert also:

$\begin{eqnarray*} f'(x=-2)=4a_4*x^3+2a_2*x*a_0 \end{eqnarray*}$

edit1 für mercany:

http://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie#Achsensymmetrie

06.07.2005, 16:10

mercany

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, ich hatte mich vertan!

ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} f(a+h) + f(a-h) = 2b \end{eqnarray*}$ - eben Punksymmetrie zu P(a|b) für beliebiges h , was du natürlich nicht gesagt hast.

Allerdings bin ich trotzdem der Meinung, dass hier $\begin{eqnarray*} f(x) = f(-x) \end{eqnarray*}$ als Bedingung vollkommen ausreicht!

Gruß, Jan

06.07.2005, 16:33

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe es mal versucht zu rechnen mit dem Additionsverfahren
kommen komische Zahlen raus geschockt

$\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ =0.2777777777777777777
$\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ =-3.38
$\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ =14,17

könnte das irgendwie stimmen?????????

06.07.2005, 16:33

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist ja uach völlig ausreichen, wenn man sofort die symmetrie zur y-Achse erkennt, andernfalls sollte man es lieber so hinschreiben.

gruß dennis

@joos. jetzt hast du also 4 bedingungen, mit denen du arbeiten kannst. schreib die bitte noch mal alle hier rein.

06.07.2005, 16:41

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es versucht zu rechnen ist das richtig siehe oben

06.07.2005, 16:48

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

araus folgt dann die gleichung:

$\begin{eqnarray*} f'(x=2)=4a_4*x^3+2a_2*x=0 \end{eqnarray*}$

Der Punkt P liegt auf dem Graphen G_f, daher gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x=2)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0=y_P \end{eqnarray*}$

Schneidet die x-Achse bei x=3:

$\begin{eqnarray*} f(x=3)=a_4*x^4+a_2*x^2+a_0=0 \end{eqnarray*}$

so und dann die 4.bedingung,d ie sich aus der achsensymmetrie ergibt:

$\begin{eqnarray*} f'(x=-2)=4a_4*x^3+2a_2*x+a_0 \end{eqnarray*}$

so damit ergibt sich dann das gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} 0=32a_4+4a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6,25=16a_4+4a_2+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=81*a_4+9*a_2+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-32a_4-4*a_2+a_0 \end{eqnarray*}$

hast du das auch so?

edit1: fehler auf die du mich aufmerksam gemacht hast verbessert.

06.07.2005, 17:08

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe

$\begin{eqnarray*} 0=32a_4+4a_2 \end{eqnarray*}$ wie kommst du hier auf acht
$\begin{eqnarray*} -6,25=16a_4+4a_2+a_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=81a_4+9a_2+a_0 \end{eqnarray*}$ und hier auf 4 mal 81 und auf 18
$\begin{eqnarray*} 0=-32a_4-4a_2+a_0 \end{eqnarray*}$ und hier auf acht

06.07.2005, 17:21

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

so habs verbessert!

so jetzt subtrahierst du die 4.Gleichung vond er 3. damit das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ verschwindet.

und dann subtrahierst du die 4. Gleichung von der 2., damit auch dort das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ verschwindet.

welche gleichunegn erhälst du dann?

06.07.2005, 17:34

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

dann habe ich noch das

$\begin{eqnarray*} 0=32a_4+4a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=49a_4+5a_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6,25=-16a_4+a_2 \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 17:42

zoiX

Auf diesen Beitrag antworten »

Die untere Gleichung lässt sich jetzt sehr leicht nach a2 (sry, dass ich nich latex nehm, aber für eine Variable mit Index - ich weiß nich Augenzwinkern

) auflösen - und wie würdest du danach weiterrechnen?

06.07.2005, 17:51

joos

Auf diesen Beitrag antworten »

schon ok

also
$\begin{eqnarray*} a_2=-16a_4 +6,25 \end{eqnarray*}$

a2 in $\begin{eqnarray*} 0=32a_4+4a_2 \end{eqnarray*}$ eisetzen und ausrechnen

$\begin{eqnarray*} a_4=0,78 \end{eqnarray*}$

06.07.2005, 17:53

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss gestehen, dass ich es jetzt nicht nachgerechnet habe, aber wenn du die untere gleichung nach $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ auflöst und dann in die mittlere gleichung einsetzt und dann nach $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ auflöst und anschließend beide werte $\begin{eqnarray*} a_4,a_2 \end{eqnarray*}$ in die erste gleichung einsetzt und sich eine wahre aussage ergibt, dann haste richtig gerechnet. ansonsten müssen wir noch mals chauen, ob wir irgendwo noch nen fehler gemacht haben.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Funktionen

Verwandte Themen