Funktion - Stetigkeit

06.07.2005, 19:15

Bizi

Funktion - Stetigkeit

Hallo!

Vielleicht kann mir jemand weiter helfen...

Gegeben ist die Funktion

x³*exp(cos 1/x) für x ungleich 0
f(x)={
0 für x gleich 0

1. ist f bei x=0 stetig?
2. ist f bei x=0 differenzierbar?
3. ist die ableitungsfunktion f´bei x=0 stetig?

ist schon alles sehr lange her...

und kann mir jemand den unterschied zwischen e^x und
exp erklären bzw. wie wird exp abgeleitet.
e^x ist abgeleitet ja e^x .

06.07.2005, 19:17

JochenX

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das ist so echt schwer lesbar
versuch dich doch mal an latex....

kennst du die definitionen von stetigkeit und diffbarkeit?

mfg jochen

ps: y=exp(x) ist nur eine andere schreibweise für y=e^x ist also genau das gleiche

06.07.2005, 19:30

Bizi

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RE: Funktion - Stetigkeit
Für die Stetigkeit weiß ich die Def., aber Differenzierbarkeit leider nicht.

Def. für Stetigkeit ist doch f(x) = f(x0)

ist eigentlich bei der Stetigkeit f(x) das gleiche wie f(x0)?

oder ist damit die zweite funktion gemeint?

06.07.2005, 19:31

JochenX

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nein, du musst den GRENZWERT von x gegen x0 mit dem funktionswert in x0 vergleichen

wenn also x gegen x0 läuft, dann muss für stetigkeit f(x) gegen f(x0) laufen

in deinem fall: x gegen 0 laufen lassen, schauen, ob f(x) gegen f(0)=0 läuft

07.07.2005, 20:07

Matze_V

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Laut meiner Formelsammlung ist eine Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig wenn
$\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ existieren und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

Unter Vorbehalt behaupte ich dann einfach mal:

Da hier die Funktion für x=0 nicht definiert ist existiert f(0) nicht, also kann die Funktion an x=0 nicht stetig sein.

Differenzierbar ist eine Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \delta x) - f(x_0)}{\delta x} \end{eqnarray*}$ existiert.

Das kleine Delta sollte eigentlich groß sein, aber ich glaub ihr wisst was ich meine.

07.07.2005, 22:12

Calvin

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Zitat:

Original von Matze_V
Da hier die Funktion für x=0 nicht definiert ist existiert f(0) nicht, also kann die Funktion an x=0 nicht stetig sein.

Hier liegt eine abschnittsweise definierte Funktion vor. An der Stelle x=0 ist f(x)=0 gesetzt worden.

Hier mal die Funktion in sauberer Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{c@{\quad:\quad}l}x^3\cdot e^{\cos (1/x)} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

EDIT
Zum Überprüfen der Stetigkeit würde ich mir mal überlegen, welche Werte $\begin{eqnarray*} e^{\cos(1/x)} \end{eqnarray*}$ überhaupt annehmen kann. Wenn das noch nicht klar ist, dann überlege dir, welche Werte cos(x) oder auch cos(1/x) annehmen kann.

07.07.2005, 23:32

Lazarus

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also das cos(1/x) ne def lücke bei 0 hat sollte klar sein.

also somit ist der abschnitt1 für alle x ungleich 0 im definitionsbereich stetig.
diese defintion lücke wird stetig geschlossen von dem zweiten abschnitt für x = 0

[achtung was nun folgt ist mathematisch nicht ganz korrekt ausgedrückt:]

rein von der logik her geht der erste abschnitt gegen 0, da der erste faktor gegen 0 geht, bei null auch null wird.

und wenn in einem produkt nunmal ein faktor null ist dann ...

mathematisch gesehn ist allerdings das problem da das einen halben meter weiter hinten x im nenner steht was ziemlich unschön ist für x=0

[so nun gehts wieder proffesionell weiter]

zu deinen anderen fragen:

bei x gleich null ist f(x) = 0 ..
[so isses ja im zweiten abschnitt definiert]
hilft dir das ?

servus

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