Erzeugen von zyklischen Gruppen

06.07.2005, 19:43

phi

Erzeugen von zyklischen Gruppen

Hallo,

Hab hier ´ne Aufgabe die ich selbst mit Lösung nicht verstehe:

Bestimme alle Elemente, die die Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^* \end{eqnarray*}$ erzeugen.

Wenn ich es richtig sehe ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^*=\{1, 3, 5, 7\} \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung besagt, dass
a) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ von den Elementen 3 und 5 erzeugt wird. Meine Idee dazu ist, das 3 mal 5 = 15 mod 7 = 1 ist ...

b) ...und dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^* \end{eqnarray*}$ eine Gruppe der Ordnung 7 ist und somit von allen Elementen <>1 erzeugt wird.

Definition : $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n^*= \{a \in \mathbb Z_n | ggT(a,n)=1 \} \end{eqnarray*}$ ...

Wie kann dann $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^* \end{eqnarray*}$ die Ordnung 7 haben, wenn 2, 4 und 6 der Definition widersprechen ?
Hilfe

Vielen Dank & Gruß, phi.

06.07.2005, 19:48

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Zitat:

Original von phi
und dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_8^* \end{eqnarray*}$ eine Gruppe der Ordnung 7 ist und somit von allen Elementen <>1 erzeugt wird.

Wer sagt das? Beide Aussagen sind falsch.

06.07.2005, 19:49

JochenX

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RE: Erzeugen von zyklischen Gruppen
die ordnung deiner gruppe ist die elementanzahl, also 4
da würde ich dir zustimmen, dass ist falsch

mfg jochen

edit: argh zu lange gebraucht, um meinen kurztext hier zurechtzuschnipseln

06.07.2005, 19:51

Leopold

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Du mußt nur die Potenzen der Elemente betrachten. Wenn unter den Potenzen

$\begin{eqnarray*} a^0,a^1,a^2,a^3,\ldots \end{eqnarray*}$

eines Elementes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{Z}_n^{*} \end{eqnarray*}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_n^{*} \end{eqnarray*}$ vorkommen, bevor sich "der Kreis schließt", dann erzeugt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Einheitengruppe.
Vielleicht googelst oder wikipedierst du einmal unter "Prime Restklassengruppe".

06.07.2005, 20:15

phi

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Albrecht Beutelspacher sagt das...gutes Buch eigentlich, aber für ´ne 6. Auflage ganz schön viele Fehler drin. ( Ich werde ihm demnächst ´ne Korrekturliste schicken..)

@ Leopold, ich geh´s nochmal durch

Danke euch für die schnelle Antwort.

Edit: Zu a) kann ich 3 und 5 bestätigen.

Zu b) Jedes Element erzeugt nur 1 und sich selbst, also braucht man alle drei Elemente <>1 um die Gruppe zu erzeugen.

smile

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