Integral--->Stammfunktion

06.07.2005, 22:06

brunsi

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Integral--->Stammfunktion

und weil das letzte thema so schön war, hier noch mal eine fortführung der letzten aufgabe.

ICh soll zu folgendem Integral die Stammfunktion erzeugen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~\frac{4}{1+e^x}~dx \end{eqnarray*}$

mit substitution hänge ich hier fest denn ich komme im nenner dann imme ruaf etwas wie $\begin{eqnarray*} h^2-h \end{eqnarray*}$ und das kann ich sos chlecht integrieren. weiß jemand anders zufällig einen besseren weg?

müsste ich da etwas mit komplexen zahlen machen?

gruß dennis

06.07.2005, 22:22

Calvin

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RE: Integral--->Stammfunktion
Die Substitution war nicht falsch. Jetzt mußt du noch Partialbruchzerlegung machen. Weißt du, wie das geht?

07.07.2005, 01:01

EagleX

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Tipp: Substiution x=ln(z)...
******************************
Wenn Du net weiterkommst...
Alles ohne Garantie wie immer...

$\begin{eqnarray*} <br /> Subs: <br /> x=ln(z) <br /> \end{eqnarray*}$
mit Absicht unbestimmte Integration

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{dx}{dz}= \frac{1}{z} \Rightarrow dx=\frac{dz}{z}<br /> 4*\int_{}^{} \frac{1}{1+z}*\frac{1}{z} ~~dz<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> PBZ: \frac{1}{1+z}*\frac{1}{z} = \frac{1}{z}-\frac{1}{1+z}<br /> \end{eqnarray*}$
Integrieren.. Resubst...Grenzen einsetzen.. jetzt müsste doch richtig sein, oder?
Hammer

Hammer

sonst bekomme ich ne krise
[/latex]

07.07.2005, 01:13

JochenX

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hallo eagle

1) ist das unten keine PBZ, aber egal
2) schwerwiegender:
$\begin{eqnarray*} x=ln(z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz}=\frac{d(ln(z))}{dz} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx=\frac{dz}{z} \end{eqnarray*}$ sieht anders aus als bei dir....

07.07.2005, 08:48

brunsi

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hey danke für den tipp mit PBZ, leider hatte ich partialbruchzerlegung nie gemacht, weiß aber, dass ich den nenner in Linearfaktoren zerlegen muss und anschließend irgendwas vergleichen.

ich schau mal eben bei wikipedia rein.

07.07.2005, 09:07

AD

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@brunsi

Verstehst du jetzt, warum in

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=19279

Zitat:

Original von brunsi
$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

statt $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{4}{e^x+1} \end{eqnarray*}$ geschrieben wurde? Das erspart dir beim Integrieren (nach der Substitution) nämlich die PBZ !!!

Manchmal sind Aufgabensteller nämlich auch ganz freundlich gesinnte Leute, indem zielgerichtet gestellte Teilaufgaben bei der Gesamtlösung helfen. Aber man muss die Hilfe auch erkennen und annehmen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.07.2005, 09:12

brunsi

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wenn du das sagst Arthur, dann wird es stimmen. ich will aber die PBZ machen, damit ich die auch mal üben kann. hatten wir nämlich niemals in der schule besprochen.

ediT1:

so ich hab dann jetzt dieses Integral dort stehen:

[/latex]4\int_{0}^{2}~\frac{1}{h^2-h}~dh[/latex]

jetzt muss ich den nenner in linearfaktoren zerlegen, da entsteht bei mir folgendes:

$\begin{eqnarray*} h^2-h=(h-\sqrt{h})(h+\sqrt{h}) \end{eqnarray*}$

so aber jetzt bräuchte ich noch mal deine Hilfe Arthur. was ist allgemein der unterschied zwischen einer (normalen oder auch i-fachen-Nullstelle) und einer komplexen Nullstelle.

Was bedeutet hier komplex??

07.07.2005, 10:23

JochenX

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eigentlich solltest du SO zerlegen:
h^2-h=h(h-1) <-- da sind dann echte linearfaktoren

mfg jochen

07.07.2005, 11:19

brunsi

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aha und wie mache ich dann weiter?

muss ich dass dann acuh noch in eine summe bringen?

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h}+\frac{1}{h-1}=\frac{1}{h^2-h} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

edit: P.s.: wenn ich das so machen würde wie ichs im vorangegangenen post machen würde. wie müsste ich dort weiter verfahren?

07.07.2005, 11:30

lego

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Zitat:

Original von brunsi
also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h}+\frac{1}{h-1}=\frac{1}{h^2-h} \end{eqnarray*}$

rechne das mal nach, ich denke du hast keine PBZ gemacht sondern einfach oben jeweils 1 geschreiben, sehe ich das richtig?

07.07.2005, 12:01

brunsi

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ja das ist richtig, ich müsste auf der linken seite im Zähler A und B anstatt 1 sschreiben?

07.07.2005, 12:07

riwe

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$\begin{eqnarray*} \frac{A}{h} +\frac{B}{h-1} =\frac{1}{h^{2}-1} \end{eqnarray*}$
koeffizientenvergleich ergibt
h^0: A + B = 0
h^1: A = - 1
werner

07.07.2005, 12:09

brunsi

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danke schön werner.

wie sieht das jetzt aber aus, wenn ich
$\begin{eqnarray*} h^2-h=(h-\sqrt{h})(h+\sqrt{h}) \end{eqnarray*}$ dort stehen habe.

wie vergleiche ich dort die Koeffizienten?

07.07.2005, 12:16

lego

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am besten gar nicht, denn diese zerlegung bringt dir nichts. die PBZ sieht so aus wie wernerrin geschrieben hat.

07.07.2005, 14:51

Lazarus

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zu deiner frage oben:

Zitat:

Original von brunsi

was ist allgemein der unterschied zwischen einer (normalen oder auch i-fachen-Nullstelle) und einer komplexen Nullstelle.

Was bedeutet hier komplex??

Angenommen gegeben sei eine funktion 2ten grades $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ .

wieviele nullstellen kann die maximal haben?

merkregel dabei: maximale anzahl an nullstellen = # des grades

also fkt 2ten gr -> 2 nullstellen.
wenn wir die nullstellen suchen bekommen wir $\begin{eqnarray*} x^2 = -1 \end{eqnarray*}$ diese gleichung hat in der menge der rellen zahlen keine lösung.
allerdings in der menge der komplexen zahlen sehr wohl.
$\begin{eqnarray*} x^2 =-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x|= \pm \sqrt {-1} = \pm i \sqrt {1} = \pm 1i = \pm i \end{eqnarray*}$

somit haben wir je eine einfache komplexe nullstelle bei $\begin{eqnarray*} x_1= i \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x_2=i^* \end{eqnarray*}$

eine weitere merkregel ist, das wenn es eine komplexe nullstelle gibt, auch das konjungiert komplexe eine nullstelle liefert!

es gibt auch funktionen ,z.b. dritten grades oder höher die eine oder mehrere reelle nullstellen haben und zwei oder mehrere komplexe.

kurz: komplex bedeutet die lösung der funktion ist eine komplexe zahl.

noch fragen ?

07.07.2005, 16:52

JochenX

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Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{h} +\frac{B}{h-1} =\frac{1}{h^{2}-1} \end{eqnarray*}$

hihi tippfehler, werner!
rechts muss h^2-h im nenner stehen

07.07.2005, 17:33

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke euch allen, bin mit dieser aufgabe durch, werde morgen oder so die lösung hier mal posten.

edit: hier jetzt die lösung:

$\begin{eqnarray*} 4\int_{0}^{2}~\frac{4}{1+e^x}~dx \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich durch substitution dieses integral:

$\begin{eqnarray*} 4\int_{0}^{2}~\frac{1}{h^2-h}~dh \end{eqnarray*}$

und mit partialbruchzerlegung ergeben sich daraus:

$\begin{eqnarray*} 4[\int_{0}^{2}~-\frac{1}{h}~dh+\int_{0}^{2}~\frac{1}{h-1}~dh] \end{eqnarray*}$

was dann integriert so aussieht( die grenzen habe ich jetzt absichtlich erst mal weggelassen, müssen natürlich noch ergänzt werden):

$\begin{eqnarray*} -ln(h)+ln(h-1)=ln(\frac{h-1}{h}) \end{eqnarray*}$

ist das jetzt richtig?

07.07.2005, 18:41

brunsi

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so habs reingepostet!

wäre sehr dankbar, wenn ihr mir das bestätigen könntet, da ich die art von integration zum 1.mal gemacht habe!! Willkommen

Willkommen

Willkommen

07.07.2005, 18:42

iammrvip

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Warum denn so kompliziert verwirrt

verwirrt

Arthur hat es doch schon angesprochen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2 \frac{4}{1 + \mathrm e^x} \mathrm dx = \int\limits_0^2 \frac{4 + 4\mathrm e^x - 4\mathrm e^x}{1 + \mathrm e^x} \mathrm dx = \int\limits_0^2 \left(4 - \frac{4\mathrm e^x}{1 + \mathrm e^x}\right) \mathrm dx \end{eqnarray*}$

07.07.2005, 18:45

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

weil laut aufgabenstellung nur der andere weg erlaubt ist iammrvip. bin auch nicht glücklich drüber unglücklich

unglücklich

, aber es ist leider so.

wenn es völlig egal gewesen wäre, welchen weg ich gegangen wäre, dann hätte icha cuh den einfacheren genommen, aber nun ist das ergebnis dort und ist es denn richtig?

07.07.2005, 18:46

iammrvip

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edit der zu spät kam:

Guck dir mal deinen Term jetzt an verwirrt

verwirrt

Fällt dir an den Grenzen nach der Substitution was auf verwirrt

verwirrt

Setze mal $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Grenze ein....

07.07.2005, 18:51

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

scherz lass nach, ich hab vergessen die grenzen auch ncoh umzurechnen, bzw. h wieder durch meine erste substitution zu ersetzen.

diese war nämlich $\begin{eqnarray*} h=1+e^x \end{eqnarray*}$

edit1: nachdem icha lso wieder resubstituiert habe lautet dann die Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x)=4 ln{\frac{e^x}{1+e^x}} \end{eqnarray*}$

07.07.2005, 18:53

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Augenzwinkern

.

Das hab ich mir schon gedacht. Deshalb noch eine Frage:

Wo ist denn die 4 im Zähler hinverschwunden verwirrt

verwirrt

07.07.2005, 18:57

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

die hat sich vor das eigentliche integral geschummelt Augenzwinkern

Augenzwinkern

also steht da quasi noch eine vor dem ln.

ich editiere das noch mal eben.

07.07.2005, 18:57

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von wernerrin
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{h} +\frac{B}{h-1} =\frac{1}{h^{2}-1} \end{eqnarray*}$

hihi tippfehler, werner!
rechts muss h^2-h im nenner stehen

hallo jochen,
kannst du mir noch einmal verzeihen,
danke für die korrektur
werner

07.07.2005, 19:16

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Japp stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich würde es noch etwas umschreiben und danach die Grenzen einsetzen und den Wert bestimmen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = 4\ln{\frac{\mathrm e^x}{1 + \mathrm e^x}} = 4x - 4\ln\left(1 + \mathrm e^x\right) \end{eqnarray*}$

07.07.2005, 19:18

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, ok danke schön.

07.07.2005, 19:19

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Das musst du nicht machen, kannst du aber Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

08.07.2005, 09:44

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

so und jetzt noch die Umkehrfunktion von der Stammfunktion machen.

denn die aufgabenstellung hieß:

löse mit hilfe der Umkehrfunktion g(x) das integral $\begin{eqnarray*} \int{}_{}f(x)~dx \end{eqnarray*}$

08.07.2005, 10:00

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur um das nochmal klarzustellen: Mit f(x) meinst du die Umkehrfunktion von g(x), denn f(x) ist in diesem Thread bisher nicht aufgetaucht! Höchstens im Vorgänger

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=19279

aber den müssen ja nicht alle gelesen haben.

08.07.2005, 10:14

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meine ich!! f(x) ist die Umkehrfunktion von g(x)!!

aber wenn ich die die Ableitungen umkehren kann, dann doch auch ihre Stammfunktionen??!

schreib hier heute abend noch mal rein, wie ich dann die Stammfunktion G(x) umgekert habe.

08.07.2005, 10:37

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Sprachlich ist das nicht richtig: Die Stammfunktion F(x) von f(x) ist nicht die Umkehrfunktion der Stammfunktion G(x) von g(x) ! Wenn ich das richtig verstehe, dann sollst du F(x) mit Hilfe von f(x), g(x) sowie G(x) darstellen - ist das so? Na mal sehen, was du heute abend dazu anbietest.

08.07.2005, 11:00

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß doch das f(x) die Umkehrfunktion g(x) besitzt.

Also integriere ich g(x) und er halte G(x).

aber so wie ich dich verstanden habe soll die Umkehrfunktion von G(x) nicht F(x) sein??

08.07.2005, 11:12

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Einfaches Beispiel: Die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} g(x)=x \end{eqnarray*}$ . Beide besitzen dann als mögliche Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x)=G(x)=\frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ . Ist dieses G die Umkehrfunktion von F ? verwirrt

verwirrt

(Immer diese rhetorischen Fragen...)

08.07.2005, 13:02

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

das könnte demnach bedeuten,wenn meine beiden ausgangsfunktionen gleich wären, dass dann auch meine beiden Stammfunktionen gleich sind. naja mehr heute abend.

08.07.2005, 13:21

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von brunsi
das könnte demnach bedeuten,wenn meine beiden ausgangsfunktionen gleich wären, dass dann auch meine beiden Stammfunktionen gleich sind.

das ist eine tolle erkenntnis Hammer

Hammer

08.07.2005, 19:48

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

so ich hab jetzt nochmal ne frage:

ich würde gerne wissen, ob das Integral $\begin{eqnarray*} \int{}{}ln(\frac{4}{x}-1)dx \end{eqnarray*}$

folgende Stammfunktion hat: $\begin{eqnarray*} F(x)=ln(4-x)(x-1)-4ln(x) \end{eqnarray*}$

kann das noch mal bitte jemand überprüfen?

08.07.2005, 19:57

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man wüsste, wo dein ln aufhört (?9
überprüf selbst durch ableiten deiner stammfunktion

08.07.2005, 20:04

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

tja, wenn man aber selbst falsch integriert, dann könnte man auch falsch ableiten unglücklich

unglücklich

08.07.2005, 20:07

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du denn ......ln[(4-x)(x-1)].... oder .....[ln(4-x)]*(x-1)....
das soltlen wir schon wissen, ich denke von der klammersetzung würde deines das zweitere bedeuten

wie bist du denn auf deine stammfunktion gekommen?
würde mich doch mal interessieren
zwischenschritte posten

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