Integral--->Stammfunktion - Seite 2

08.07.2005, 20:30

riwe

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ln(\frac{4}{x}-1)~dx =\int_{}^{}~ln(4-x)~dx -\int_{}^{}~lnx~dx =-\int_{}^{}~ln(y)~dy-\int_{}^{}~ln(x)~dx=-ylny+y-xlnx+x=(x-4)ln(4-x)-xlnx+C \end{eqnarray*}$
(mit 0 < x < 4)
denke ich
werner

08.07.2005, 20:49

brunsi

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@Jochen: ich meinte das 2.!!

habs aber jetzt noch mal durchgerechnet und komme dabei auf die richtige Ausgangsfunktion. also meine ableitung ist richtig. hab vergessen die Produktregel auf den 1.Summanden anzuwenden und abzuleiten.

danke schön Tanzen

08.07.2005, 21:43

brunsi

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So jetzt habe ich zwei Stammfunktonen:

$\begin{eqnarray*} G(x)=4x-4ln(e^x+1) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} F(x)=x*ln(\frac{4}{x}-1)-4ln(4-x) \end{eqnarray*}$

die Stammfunktion G(x) haben wir ja schon in nem anderen Thread hergeleitet.

Aber wenn man die Stammfunktion F(x) ableitet und dann von der Ableitung die Umkehrfunktion g(x) bildet und anschließend G(x) integriert, müsste man doch den zusammenhang gezeigt haben? kann mal jemand per Taschenrechner überprüfen, ob das alles richtig ist?

09.07.2005, 08:54

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Ich will mal noch folgendes loswerden: Angefangen hast du den jetzigen Teil mit

Zitat:

Original von brunsi
denn die aufgabenstellung hieß:

löse mit hilfe der Umkehrfunktion g(x) das integral $\begin{eqnarray*} \int{}_{}f(x)~dx \end{eqnarray*}$

Eine etwas rätselhafte Aufgabenstellung. Aber ich könnte mir vorstellen, dass vielleicht folgendes gemeint war:

Substituiere $\begin{eqnarray*} z=f(x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x=g(z) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x=g'(z)\,\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int~f(x)\,\mathrm{d}x = \int~zg'(z)\,\mathrm{d}z = zg(z) - \int~g(z)\,\mathrm{d}z = zg(z)-G(z) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres natürlich mit partieller Integration. Durch Rücksubstitution kann man eine Stammfunktion F(x) von f(x) folglich darstellen durch

$\begin{eqnarray*} F(x) = xf(x)-G(f(x)) \end{eqnarray*}$

09.07.2005, 10:17

brunsi

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so ich mach das jetzt noch mal ein wenig genauer:

gegeben ist das integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~ln(\frac{4}{x}-1)~dx \end{eqnarray*}$

so hieraus wird ja ersichtlich, dass man die grenze für x=0 nicht rechnen kann, da dafür die funktion nicht definiert ist.

jetzt habe ich ja noch die Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} g(x)=4-\frac{4}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

meine these wäre nun,dass ich mit hilfe von g(x) das integral von f(x) integrieren soll, indem ich die Grenzen für g(x) ausrechne und das dann integriere und den Flächeninhalt bilde.

ist das richtig?

09.07.2005, 10:30

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Bevor du dich in neue abenteuerliche (und falsche) Theorien stürzt, erst mal folgendes zur Beruhigung:

$\begin{eqnarray*} F(x)=x\ln\left(\frac{4}{x}-1\right)-4\ln(4-x) \end{eqnarray*}$

ist eine korrekte Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\left(\frac{4}{x}-1\right) \end{eqnarray*}$ . Das war's jetzt aber für mich, vielleicht heut abend wieder. Wink

09.07.2005, 10:42

brunsi

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das ist schön, die Stammfunktion hab ich also richtig gemacht!!

aber wie gehts dann nun mit meiner letzten aussage weiter?

09.07.2005, 10:55

therisen

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Hallo brunsi,
es ist ein altbewährter Trick, das Flächenstück inklusive des Graphen an der Winkelhalbierenden zu spiegeln (=Umkehrfunktion) und dann mit Hilfe der Umkehrfunktion zu berechnen. Beachte, dass du die Grenzen neu berechnen musst!

Gruß, therisen

09.07.2005, 10:57

brunsi

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sind die umrechnungen für die grenzen :

0--->2

2---->0,85...

09.07.2005, 11:02

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 0 \mapsto \infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \mapsto 0 \end{eqnarray*}$

09.07.2005, 11:08

therisen

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Hallo brunsi,
als Umkehrfunktion erhalte ich $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=4\, \left( {e^{x}}+1 \right) ^{-1} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

09.07.2005, 11:23

brunsi

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ja die Umkehrfunktion habe ich auch @therisen!!

jetzt muss ich doch dei Grenzen 0 und 2 vom Integral f(x) in die Umkehrfunktion einsetzen und erhalte die neuen grenzen??

edit: jedenfalls hatten wir bei uns in der schule das immer so gemacht!!

09.07.2005, 19:13

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Oben habe ich schon eine Beziehung zwischen Stammfunktionen, also "unbestimmte" Integrale, angegeben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} F(x) = xf(x)-G(f(x)) \end{eqnarray*}$

Die "bestimmte" Variante sieht dann so aus: Seien $\begin{eqnarray*} x_a,x_b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_a=f(x_a),y_b=f(x_b) \end{eqnarray*}$ , dann folgt

$\begin{eqnarray*} F(x_b)-F(x_a) = x_bf(x_b)-x_af(x_a)-[G(f(x_b))-G(f(x_a))] = x_by_b-x_ay_a-[G(y_b)-G(y_a)] \end{eqnarray*}$

oder anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x_a}^{x_b}~f(x)\,\mathrm{d}x + \int\limits_{y_a}^{y_b}~g(y)\,\mathrm{d}y = x_by_b-x_ay_a \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, das ist das, worauf therisen in http://www.matheboard.de/thread.php?postid=183019#post183019 angespielt hat.

Die graphische Interpretation für positive $\begin{eqnarray*} x_a,x_b,y_a,y_b \end{eqnarray*}$ sowie streng monoton wachsende Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ sieht dann so aus (x-Integral blau, y-Integral gelb):

09.07.2005, 21:28

brunsi

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jetzt habe ich mal eine allgemeine frage.

da diese aufgabe aus einem mathematik Lk aus Bayern aus dem Jahre 2002 stammt, interessiert mich, ob es standart ist so etwas während einer prüfung zu analysieren,zu verstehen und zu rechnen??

ich gebe um 22:10 Uhr noch mal die Originalaufgabenstellung hier rein.

so hier kommt die Aufgabenstellung:

Berechnen Sie mit Hilfe der Umkehrfunktion g(x) das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}f(x)dx \end{eqnarray*}$

so was bedeutet das denn jetzt konkret für die bewältigung der aufgabe? muss ich das so kompliziert machen wie du es dargestellt hast @Arthur???

09.07.2005, 22:18

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Sehr amüsant, dass ausgerechnet du, brunsi, mir vorwirfst, etwas "kompliziert" zu machen. Für unnötig komplizierte Lösungen bist du ja hier berühmt, oder? Big Laugh

10.07.2005, 09:45

brunsi

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wollte dir nichts vorwerfen Arthur, weiß selber das ich die Lösungen hier eh viel zu kompliziert gestalte, aber mit hinblick darauf, dass es Eine von vielen Abituraufgaben eines Mathe-Lks aus Bayern gewesen ist. interessiert mich jetzt, ob die in bayern tatsächlich auf so eine lösung gekommen wären,w ie du sie angeschrieben hattest??

10.07.2005, 10:22

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Also dass sich die Flächen unter Funktion und Umkehrfunktion gerade zu einer Flächendifferenz von zwei Rechtecken ergänzen, ist doch anhand der Grafik nun wirklich nicht schwer zu verstehen. Und der vorher über eine Substitution und eine partielle Integration (vergleich das mal mit deinen ellenlangen Lösungen) hergeleitete Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} F(x) = xf(x)-G(f(x)) \end{eqnarray*}$

zwischen den Stammfunktionen der Ausgangs- und Umkehrfunktion ist sozusagen die formelmäßige Entsprechung dieses graphischen Zusammenhangs.

Und wenn das vielleicht vorher mal Unterrichtsstoff war (wer weiß?), dann kann ich mir sehr gut vorstellen, dass das im Abitur dran war. Außerdem kann man den Schüler kaum bestrafen, wenn er das Integral auf herkömmliche Weise richtig berechnet, denn (wie bereits von mir gesagt) die Aufgabenstellung

Zitat:

Original von brunsi
löse mit hilfe der Umkehrfunktion g(x) das integral $\begin{eqnarray*} \int{}_{}f(x)~dx \end{eqnarray*}$

ist ja doch sehr vage.

10.07.2005, 10:25

brunsi

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gut werde ich machen. mal was ergibt sich denn für den flächeninhalt? ich möchte nur die richtige Zahl wissen. der weg bleibt dann mir überlassen. rechne dann mal beide wege durch und mal schauen, ob die auch zum gleichen ergebnis führen?? verwirrt

10.07.2005, 13:15

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Das rechnest du mal hübsch selbst, steht ja alles da. Rauskommen muss

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^2~f(x)\,\mathrm{d}x=4\ln 2 \end{eqnarray*}$ .

10.07.2005, 13:25

brunsi

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warum sagst du dass denn nciht gleich?? geschockt

dann hättenw ir uns 2 seiten sparen können, denn die habe ich irgendwie jetzt schon rausbekommen. Big Laugh

danke schön arthur dass du so viel geduld mit mir hattest. Willkommen

10.07.2005, 13:25

therisen

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Hallo brunsi,
entscheidend ist bei dieser Aufgabe, dass die Integrationsgrenzen gegeben sind! Diese hattest du anfangs unterschlagen. Denn dann ist die Aufgabe ganz einfach zu lösen und das wird auch im Unterricht mehr oder weniger ausführlich behandelt! Arthurs "Formel" ist zwar schön, wird aber so nicht erwartet (zu "schwer").

Gruß, therisen

10.07.2005, 16:39

brunsi

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ja das habe ich mir auch gedacht,a ber jetzt meine frage. wie rechne ich die integrationsgrenzen um?

nehme ich diese grenzen und setze sie einfach ind g(x) ein?? so haben wir das jedenfalls imme rgemacht!!

10.07.2005, 17:35

therisen

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Eine Skizze ist hier immer vorteilhaft:

Deine Grenzen waren $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=2 \end{eqnarray*}$ . Diese werden ja ebenfalls an $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ gespiegelt und werden zu $\begin{eqnarray*} y_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1=2 \end{eqnarray*}$ .

Wo nimmt also $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ an?

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)&=&y_0\\ f(f^{-1}(x))&=&f(y_0) \\ x&=&f(y_0) \end{eqnarray*}$

Analog verfährst du bei $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ . Damit erhältst du die neuen Integrationsgrenzen.

Gruß, therisen

10.07.2005, 20:01

brunsi

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ok, ich werde mich morgen ncoh mal melden, muss mri das jetzt erst mal in meinen kopf einhämern. danke erst einmal therisen.

11.07.2005, 19:54

brunsi

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aber wenn ich das jetzt analog mit $\begin{eqnarray*} y_1=2 \end{eqnarray*}$ mache, dann erhalte ich doch

$\begin{eqnarray*} 2=\frac{4e^x}{1+e^x} \end{eqnarray*}$

das ein wenig umgeformt liefert mir:

$\begin{eqnarray*} 2+2e^x=4e^x \end{eqnarray*}$

daraus folgt dann:

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

11.07.2005, 19:58

therisen

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Nein!

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(\frac{4}{x}-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2)=\ln(\frac{4}{2}-1)=0 \end{eqnarray*}$

Hast du meinen Beitrag nicht verstanden?

EDIT: VOR deinem Edit war ein bisschen was anderes dagestanden, daher ist mein Beitrag nicht mehr all zu ernst zu nehmen

Gruß, therisen

12.07.2005, 09:30

brunsi

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nur bei $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ funktioniert das ganze doch nicht. da erhalte ich dann überhaupt keinen wert.

was muss ich da tun? wäre es nicht auch irgendwie sinnvoller das ganze mit so ner (war es Trapezformel) zu integrieren?

12.07.2005, 10:39

therisen

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Zitat:

Original von brunsi
nur bei $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ funktioniert das ganze doch nicht. da erhalte ich dann überhaupt keinen wert.

Schau dir den Graphen der Umkehrfunktion (grün) doch mal genau an! Da gibt es schon einen Wert... Limes lässt grüßen Augenzwinkern

Gruß, therisen

12.07.2005, 10:46

brunsi

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ich steh da gerade aufm schlauch, und wenn ich mich dann nicht völlig Irre, muss ich das mit L'hospital machen?

also für y=2 ist die Grenze der Umkehrfunktion ja 0

und für y=0 muss dann die grenze der Umkehrfunktion unendlich sein?

12.07.2005, 11:19

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Auch wenn ich euch nerve ( Augenzwinkern

), komme ich nochmal auf

http://www.matheboard.de/thread.php?postid=183134#post183134

zurück, nur diesmal für monoton fallende f und g, so wie sie hier vorlegen. Mit $\begin{eqnarray*} x_a<x_b \end{eqnarray*}$ sowie dann $\begin{eqnarray*} y_a>y_b \end{eqnarray*}$ kann man hier dann völlig analog schreiben

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{x_a}^{x_b}~f(x)\,\mathrm{d}x - \int\limits_{y_b}^{y_a}~g(y)\,\mathrm{d}y = x_by_b-x_ay_a \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} x_a=y_b=0 \end{eqnarray*}$ , so dass die rechte Seite Null wird und somit die Integrale gleich, es verbleibt in der folgenden Skizze sozusagen nur der "grüne" Bereich. Und das ist dann wohl der Spezialfall, der euch bekannt ist.

12.07.2005, 11:28

therisen

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Zitat:

Original von brunsi
also für y=2 ist die Grenze der Umkehrfunktion ja 0

und für y=0 muss dann die grenze der Umkehrfunktion unendlich sein?

Genau, $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

12.07.2005, 13:20

brunsi

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gut, danke euch beiden.

@Arthur: welches programm haste für die graphik verwendet? sieht mir nicht nach paint aus!!

13.07.2005, 08:48

brunsi

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jetzt ist nur noch meine frage, wie schreibe ich das notatorisch korrekt auf, dass die obere Grenze gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht??

und für die stammfunktion bekomme ich $\begin{eqnarray*} 4[-x+ln(e^x+1)] \end{eqnarray*}$ raus??

13.07.2005, 11:10

therisen

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Hallo brunsi,
die Stammfunktion interessiert in diesem konkreten Fall nicht wirklich - was zählt ist das Ergebnis, das rauskommt, wenn du die Grenzen einsetzt!

Zur Notation:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} f(x)~dx = \lim_{k \to \infty}[F(x)]_{0}^{k} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

13.07.2005, 13:39

brunsi

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ok, bei evtlen weiteren fragen meld ich mcih wieder.

edit1: wie schreibeich denn auf, dass die eine grenze unendlich ist?

da haperts bei mir konkret. die richtige notation zu nehmen.???!!

13.07.2005, 15:53

therisen

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Hast du meinen Beitrag denn nicht gelesen? Ich habe dir die Notation doch bereits gezeigt!

Wenn du nun k in F(x) einsetzen willst, so empfiehlt es sich vorher $\begin{eqnarray*} b := \lim_{k \to \infty}F(k) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Dann musst du nur noch einsetzen: $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}[F(x)]_{0}^{k}=b-F(0) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

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