Klausurhilfe Differenzialgleichungen erbeten

Neue Frage »

06.07.2005, 20:19	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurhilfe Differenzialgleichungen erbeten Guten Abend, ich schreibe am freitag meine CoMa_II Klausur. (Ist ähnlich wie Numerik1 nur abgeschwächter) und dafür muss ich DGL lösen können. (Wir haben nur 1. Ordung) Ich habe relativ guten Kontakt zu höheren Semestern und habe dort mal über die Schulter geguckt. Es scheint ja verschiedene Ansätze zu geben: -Trennung der Variablen -Variaton der Konstanten (Veränderlichen) -Koeffizientenvergleich. -Lösung der homogenen + der inhomogenen Gleichung ist Lsg. der Differentialgleichung. -Exponentialansatz ??! Nur leider weiß ich partout nicht wann ich was machen muss. Muss ich sehen können ob eher ein Ansatz mit sin oder cos die Gleichung löst oder eher ein Ansatz über die Exponentialfunktion. Ich bin nach all den Einflüssen völlig verwirrt. Erschwerend hinzu kommt noch das ich EINE ABSOLUTE NULL bin was Integrieren angeht. Bei Substitution ist schon das Ende der Fahnenstange überschritten. Bitte ihr Gelehrten, gebt mir eine kurze Übersicht, oder auch nur ein bisschen Beileid Danke Rob
06.07.2005, 21:09	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
am besten stellst du ein paar aufgaben rein und versuchst die aber auch selber soweit wie möglich zu lösen und wir versuchen dir bei deinen problemen zu helfen!
06.07.2005, 21:21	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber erstmal schlafen... Hi, danke für deine Antwort, morgen stelle ich dann mal ein paar Aufgaben mit meinen wahrscheinlich krüppelartigen Lsg'en rein. Generell würde mich interessieren ob das was ich geschrieben habe generell richtig ist, oder ob ich schon Sachen durcheinandergeschmissen habe.. Erstmal gute Nacht Rob
06.07.2005, 21:30	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
das meiste paßt schon! aber an den sachen gewöhnst du dich dran wenn die entsprechenden aufgabentypen vorliegen!
07.07.2005, 16:05	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
So, hier ist wat Hier ist mal AWP wo ich schon spontan am Ansatz scheitere: $\begin{eqnarray} y'(t) = \gamma y^{2}(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(0) = y_0 \end{eqnarray}$ Heute sagt mir einer meiner Kumpels an der Uni, dass ich im wesentlichen mit zwei Verfahren schon ne Menge erreichen könne, einmal: Trennung der Variablen und als zweiters das jede Lösung einer DGL sich aus einer speziellen und der homogenen Lösung zusammensetzt. Also: $\begin{eqnarray} y(t) = y_h(t) + y_s(t) \end{eqnarray}$ Die homogene Lsg sieht ja erstmal so aus: $\begin{eqnarray} y_h'(t) + \gammay^2_h(t) = 0 \end{eqnarray}$ Die spezielle Lsg: Ähh da hörts schon auf, da ich ja nicht wirklich ne richige rechte Seite kriege. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- OK, dann halt so, jede Lsg einer DGL dieser Form: $\begin{eqnarray} y'(t) = \lambda y(t) \end{eqnarray}$ hat ja die Form: $\begin{eqnarray} y(t) = y_0e^{\lambdat} \end{eqnarray}$ in unserem Fall ist ja nun $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ und da wir noch ein Quadrat haben muss da noch ein $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vor. Die Lsg wäre also: $\begin{eqnarray} y(t)= \frac{1}{2}y_0e^{-\gamma t} \end{eqnarray*}$ Ist das im entferntesten richtig ? Ach nee das [latex]\frac{1}{2} [\latex] muss irgendwie noch in den Exponenten. sonst stimmt der Anfangswert nicht. Grüße Rob
07.07.2005, 16:37	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Namensfetter Aber warum denn soo kompliziert Merk dir es einfach so: Solange man die Variablen trennen kann, immer Trennung der Veränderlichen. Hier geht das doch wunderbar: $\begin{eqnarray} y'(t) &=& \gamma y^2(t) \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} &=& \gamma y^2(t) \\ \frac{\mathrm dy}{y^2} &=& \gamma \mathrm dt \end{eqnarray}$ jetzt kannst du integrieren und einfach nach y auflösen. Dann noch die Integrationskonstante C bestimmen, fertig! . PS: Die anderen Verfahren greifen ja erst bei DGLen der Art: $\begin{eqnarray} x^2y'' + xy' = a \end{eqnarray}$
Anzeige

07.07.2005, 17:26	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähh bitte mal lösen... wie oben schon gesagt bin ne absolute null, was das integrieren angeht. Wäre nett wenn du mir das mal vorrechnen könntest Danke Rob
07.07.2005, 17:29	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, hier gibt es keine ganzen Lösungen. Versuche es doch einfach mal $\begin{eqnarray} \int\frac{\mathrm dy}{y^2} &=& \int\gamma \mathrm dt \end{eqnarray}$ Also integrieren wir: $\begin{eqnarray} \int\frac{\mathrm dy}{y^2} &=& \\ \int\gamma \mathrm dt &=& \end{eqnarray}$
07.07.2005, 19:33	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich komme dann auf $\begin{eqnarray} y^{-2} = \gamma t \end{eqnarray}$ und weiter??? rob
07.07.2005, 20:44	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
linke seite hast du noch nicht integriert! rechte seite stimmt schon! du mußt noch $\begin{eqnarray} \frac{1}{y^2} \end{eqnarray}$ integrieren!
07.07.2005, 21:52	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
und ganz wichtig beim lösen von DGLn mit diesem verfahren: auf mindestens einer seite +C schreiben (integrationskonstante, hier mal wichtig) [an sich auf eine seite +C1, auf der anderen +C2, zusammenfasser zu C]
07.07.2005, 21:56	r0b	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, danke für euer Hilfe, nun ist es schon zu spät und ich werd mal sehen was morgen so auf mich zukommt. Wünscht mir Glück (10:00 - 12:00) Nochmal danke. Rob
07.07.2005, 22:00	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann ! alles gute! immer ruhig bleiben aufgaben gut durch lesen und konzentriert arbeiten , dann klappt es schon!
08.07.2005, 13:59	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich zeig's dir noch mal im Ganzen: $\begin{eqnarray} y'(t) &=& \gamma y^2(t) \\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} &=& \gamma y^2(t) \\ \frac{\mathrm dy}{y^2} &=& \gamma \mathrm dt \\ -\frac{1}{y} + C_1 &=& \gamma t + C_2 \end{eqnarray}$ Die zwei Integrationskonstanten kann man ja zu einer zusammenfassen mit $\begin{eqnarray} C = C_2 - C_1 \end{eqnarray}$ , also kann man bei diesem Schritt auch kurz schreiben: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{y} &=& \gamma t + C \end{eqnarray}$ Jetzt lösen wir einfach noch nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auf: $\begin{eqnarray} y &=& -\frac{1}{\gamma t + C} \end{eqnarray}$ Nun hast du die allgemeine Lösung der DGL. Nun bestimmst du die partikuläre Lösung, in dem du einfach die AWT einsetzt und nach der Konstanten C auf. $\begin{eqnarray} y(0) = -\frac{1}{C} = y_0 \Rightarrow C = -\frac{1}{y_0} \end{eqnarray}$ einsetzen in die allgemeine Lösung: $\begin{eqnarray} y_p(x) = -\frac{1}{\gamma t - \frac{1}{y_0}} = \frac{y_0}{1 - \gamma ty_0} \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

Klausurhilfe Differenzialgleichungen erbeten

Verwandte Themen