Element der Ordnung 2

06.07.2005, 22:33	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Element der Ordnung 2 Moin, moin nochmal, weiß nicht wie ich bei folgender Aufgabe ansetzen soll: Sei G eine beliebige Gruppe der Ordnung 65536. Zeige: Es gibt in G ein Element der Ordnung 2. (d.h. ein Element g mit $\begin{eqnarray} g\neq e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g^2=e \end{eqnarray}$ ) mit e := neutrales Element der Multiplikation (meistens = 1). Zunächstmal ist $\begin{eqnarray} 65536=2^{16} \end{eqnarray}$ . Wenn G zyklisch wäre, könnte ich die Umkehrung des Satzes von Lagrange anwenden da die Gruppenordnung ja durch 2 teilbar ist. Aber G soll ja beliebig sein. -------------------------- 2. Versuch: Kleiner Satz von Fermat: Ist G eine endliche Gruppe, so gilt für alle Elemente $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} g^{\|G\|}=g^{65535}=g^{2^{16}}=e \end{eqnarray}$ ... ...aber da verließen sie mich. Dank & Gruß, phi.
06.07.2005, 23:39	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß nicht, ob ich da jetzt nicht viel zu leicht denke, aber.... zz. ist ja das ein elemente <>e selbstinvers ist jetzt kannst du doch immer nichtselbstinverse elemente paarweise (mit dem inversen) wegnehmen, bis im worstcase nur noch ein element neben e übrigbleibt, dass dann selbstinvers sein muss. hab ich mich da verdacht?
06.07.2005, 23:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Netter Beweis! Eine andere Möglichkeit, falls das benutzt werden darf: Die Ordnung eines jeden Gruppenelements ist ein Teiler der Gruppenordnung. Wenn das dann also die Ordnung $\begin{eqnarray} 2^d \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d\geq 1 \end{eqnarray}$ für irgendein Element $\begin{eqnarray} g\neq e \end{eqnarray}$ ist, dann hat $\begin{eqnarray} g^{2^{d-1}} \end{eqnarray}$ die Ordnung 2.
07.07.2005, 10:46	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
moin, @LOED, ja das leuchtet mir ein, denn wenn g nicht selbstinvers wäre, wäre e ein Element zusätzlich zu allen Paaren (Elemente mit Inversen), und G hätte dann eine ungerade Ordnung im Widerspruch zur Vorraussetzung. @Arthur, ja Lagrange darf ich benutzen. Verstehe aber die Schlussfolgerung noch nicht... Danke ihr beiden.
07.07.2005, 10:59	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
zu arthurs beweis: die ordnung eines elementes g ist eine 2erpotenz (2^0, wenn g=e ist, ansonsten etwas zwischen 2^1 bis 2^16) sei seine ordnung also 2^d, d.h. dann g^{2^d}}=e, nach definition der elementordnung, bis hierher okay? jetzt verknüpfe mal das element g^{2^(d-1)}} mit sich selbst .............. mfg jochen
07.07.2005, 11:08	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
...ergibt g^(2^d) =e...ahh, jetzt verstehe ich : dann hat g^(2^(d-1)) die Ordnung 2 ! Cool, zwei Beweise vergleichen zu können...
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