Sinus oder Cosinus als Summe?

sry mein Fehler, das k ist da falsch

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty~ f(i) \end{eqnarray*}$

f(i) soll für eine Funktion stehen.
ich habe mal glaub was mit fakultät gesehen, das sah glaub so irgendwie aus:

$\begin{eqnarray*} sin x = \sum_{i=0}^\infty~ \frac{x^i}{n!} \end{eqnarray*}$

aber die formel ist falsch

26.01.2008, 16:43

tigerbine

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Zitat:

geposteter Link

$\begin{eqnarray*} \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

26.01.2008, 16:53

n0name

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ups

, ich muss blind sein, sorry

vielen dank smile

28.01.2008, 17:43

n0name

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jetzt muss ich doch nochmal nachfragen,

also wenn das hier gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

dann müsste ich ja auch die Funktionswerte mit Hilfe dieser Summenformel berechnen können.

gut, dann berechne ich mal die Markanten Punkte der Funktion.

Fall 1: für x=0 ( n=0 in diesem Fall)

$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{1!} =\frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

stimmt!

Fall 2: für x = Pi/2 ( was ist in diesem Fall nun n ?? vllt. 1 ?)

was ist wenn ich nicht PI/2 genommen hätte sondern PI was wäre dann n??

könnt ihr mir das erklären wie ich da vorgehen muss, weil scheinbar muss das ein passendes n zu dem x wert sein.

( weil ja die einzelnen teile der Taylorreihenentwicklung immer Teile der Funktion beschreiben)

kann mir jemand dabei helfen?

danke mfg n0name

28.01.2008, 17:47

tmo

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du solltest dich noch mal genau mit dem begriff der Unendlichen Reihe beschäftigen. du scheinst ihn nämlich nicht richtig verstanden zu haben.

und zu den markanten punkten: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist definiert als die eindeutige bestimmte nullstelle des cosinus im intervall [0,2] (oder auch die kleinste positive nullstelle). daraus folgen zusammen mit den additionstheoremen und anderen eigenschaften von sinus/cosinus die werte an den markanten stellen.

28.01.2008, 17:50

n0name

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also gut, das mach ich gleich mal.

28.01.2008, 17:59

n0name

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Zitat:

Original von tmo
du solltest dich noch mal genau mit dem begriff der Unendlichen Reihe beschäftigen. du scheinst ihn nämlich nicht richtig verstanden zu haben.

und zu den markanten punkten: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist definiert als die eindeutige bestimmte nullstelle des cosinus im intervall [0,2] (oder auch die kleinste positive nullstelle). daraus folgen zusammen mit den additionstheoremen und anderen eigenschaften von sinus/cosinus die werte an den markanten stellen.

ja markante punkte war wohl das falsche wort, eigentlich hätte ich sagen müssen das dies Punkte sind die man von der Sinuskurve auswendig kennt, und leicht überprüfen kann ob der Funktionwerts von sin(x) der selbe ist wie wenn man das mit der Summenformel berechnet.

Es geht mir hier nur darum, das ich die y-werte der SinusFunktion berechnen kann ( z.b schreibe ich in java ein Programm das die Summenformel abarbeitet.) und somit die Sinus Kurve auf dem Bildschirm ausgibt. smile

28.01.2008, 18:11

tmo

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das geht dann halt nur näherungsweise.

mit $\begin{eqnarray*} s_n(x) := \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$ gilt für kleine x und halbwegs große n (wenn du $\begin{eqnarray*} x \in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ wählst, ab $\begin{eqnarray*} n > 3 \end{eqnarray*}$ ) die fehlerabschätzung:

$\begin{eqnarray*} |\sin x - s_n(x)| \leq \left| \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right| \end{eqnarray*}$

der fehler ist also nicht größer als das letzte berechnete glied.

wenn du z.b. für sin(1) die ersten 10 glieder berechnest, hast du schon eine genauigkeit von mindestens $\begin{eqnarray*} \frac{1}{19!} \end{eqnarray*}$ , was 17 nachkommastellen entspricht.

28.01.2008, 18:21

n0name

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genau das wollte ich wissen Freude

ich glaub 5 Glieder langen mir schon Augenzwinkern

vielen dank tmo smile

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