Beweis Eulersche Polyederformel

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swclhard Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Eulersche Polyederformel
Hey Leute ich soll das folgende Beweisen und wollte euch fragen, ob das so geschrieben werden kann, ohne Punktabzug! Vieleicht kann man einige Sachen noch mathematisch schreiben.



Beweis: Induktion über

Ist , so sind alle Kanten Schleifen. Daraus folgt .
Also ist
Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife ist.
Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Grafen, mit , und .
Nach Induktionsvoraussetzung gilt also:

Daraus folgt, dass die Bauhauptung stimmt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
Zitat:
Original von swclhard

Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Grafen, mit , und .

Falsch: Es gibt auch den Fall, dass du eine Kante e entfernst, und die Knotenmenge erstmal gleich bleibt! Jedoch vereinigst du in diesem Fall zwei Flächen (oder Gebiete, wie auch immer du das nennst):

, und .

Und damit ist deine Induktion noch nicht vollständig!
 
 
swclhard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
Ok klingt logisch. Das fehlt bei der ersten Beweisführung. Also müsste das dann so aussehen?!



Beweis: Induktion über

Ist , so sind alle Kanten Schleifen. Daraus folgt .
Also ist

1.Fall
Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife und nicht Teil eines Kreises ist.
Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Graphen, mit , und .
Nach Induktionsvoraussetzung gilt also:


2.Fall
Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife und Teil eines Kreises ist.
Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Graphen, mit , und .
Nach Induktionsvoraussetzung gilt also:


Daraus folgt, dass die Bauhauptung stimmt.
swclhard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
ist ein zusammenhängender planarer Graph mit Knoten Kanten und Facetten (Gebiete).

Versuch der Unterteilung in die einzelnen Abschnitte (Bitte um Berichtigung Hammer )

Beweise:


über

Induktionsanfang:

Wenn , dann gilt


Daraus folgt:


Daraus folgt die Induktionsvoraussetzung
Induktionsvoraussetzung:


gilt für alle

Induktionsbehauptung:


gilt für

Beweis des Induktionsschrittes:
1.Fall
ist ein zusammenhängender planarer Graph mit einer Kante , welche weder eine Schlinge noch Kante eines Kreises ist. Wird die Kante e aus G entfernt, so dass ein zusammenhängender planarer Graph entsteht, gilt



Daraus folgt wiederum die Induktionsvoraussetzung:

Also stimm die Behauptung für diesen Fall.

2.Fall
ist ein zusammenhängender planarer Graph mit einer Kante , welche entweder eine Schlinge oder Kante eines Kreises ist. Wird die Kante e aus G entfernt, so dass ein zusammenhängender planarer Graph entsteht, gilt



Daraus folgt wiederum die Induktionsvoraussetzung:

Also stimm die Behauptung auch für diesen Fall.

Schlussfolgerung

gilt für alle
swclhard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
Schaut euch bitte mal meinen neuesten Beweisversuch an! Ich habe es jetzt mal über E Versucht.
1. Ist daran etwas falsch? (Fehlt noch etwas?) Wenn ja was?
2. Sind die Schreibweisen richtig? Was kann verbessert werden?

Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im großen und ganzen sieht das OK aus, nur einige Anmerkungen

Zitat:
Original von swclhard

gilt für alle

Das Wort alle würde ich streichen, denn ist gleichbedeutend mit der leeren Menge .

Zitat:
Original von swclhard
1.Fall
ist ein zusammenhängender planarer Graph mit einer Kante , welche weder eine Schlinge noch Kante eines Kreises ist.

Für mich, dem die Terminologien "Schlinge" oder "Kante eines Kreises" etwas ungewohnt sind, ist das einfach eine Kante, die einen (mit Ausnahme eben dieser Kante) isolierten Knoten mit dem Rest des Graphen verbindet.
swclhard Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
Herzlichsten Dank!! So langsam entwickle ich ein gewisses Verständis für Mathe. Rock Tanzen
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