Beweis Eulersche Polyederformel |
07.07.2005, 17:19 | swclhard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis Eulersche Polyederformel Beweis: Induktion über Ist , so sind alle Kanten Schleifen. Daraus folgt . Also ist Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife ist. Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Grafen, mit , und . Nach Induktionsvoraussetzung gilt also: Daraus folgt, dass die Bauhauptung stimmt. |
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07.07.2005, 17:28 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Eulersche Polyederformel
Falsch: Es gibt auch den Fall, dass du eine Kante e entfernst, und die Knotenmenge erstmal gleich bleibt! Jedoch vereinigst du in diesem Fall zwei Flächen (oder Gebiete, wie auch immer du das nennst): , und . Und damit ist deine Induktion noch nicht vollständig! |
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07.07.2005, 17:54 | swclhard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Eulersche Polyederformel Ok klingt logisch. Das fehlt bei der ersten Beweisführung. Also müsste das dann so aussehen?! Beweis: Induktion über Ist , so sind alle Kanten Schleifen. Daraus folgt . Also ist 1.Fall Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife und nicht Teil eines Kreises ist. Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Graphen, mit , und . Nach Induktionsvoraussetzung gilt also: 2.Fall Sei ein zusammenhängender planarer Graph mit und eine Kante, die keine Schleife und Teil eines Kreises ist. Wird aus entfernt, so bekommt man einen zusammenhängenden planaren Graphen, mit , und . Nach Induktionsvoraussetzung gilt also: Daraus folgt, dass die Bauhauptung stimmt. |
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07.07.2005, 17:58 | swclhard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Eulersche Polyederformel ist ein zusammenhängender planarer Graph mit Knoten Kanten und Facetten (Gebiete). Versuch der Unterteilung in die einzelnen Abschnitte (Bitte um Berichtigung ) Beweise: über Induktionsanfang: Wenn , dann gilt Daraus folgt: Daraus folgt die Induktionsvoraussetzung Induktionsvoraussetzung: gilt für alle Induktionsbehauptung: gilt für Beweis des Induktionsschrittes: 1.Fall ist ein zusammenhängender planarer Graph mit einer Kante , welche weder eine Schlinge noch Kante eines Kreises ist. Wird die Kante e aus G entfernt, so dass ein zusammenhängender planarer Graph entsteht, gilt Daraus folgt wiederum die Induktionsvoraussetzung: Also stimm die Behauptung für diesen Fall. 2.Fall ist ein zusammenhängender planarer Graph mit einer Kante , welche entweder eine Schlinge oder Kante eines Kreises ist. Wird die Kante e aus G entfernt, so dass ein zusammenhängender planarer Graph entsteht, gilt Daraus folgt wiederum die Induktionsvoraussetzung: Also stimm die Behauptung auch für diesen Fall. Schlussfolgerung gilt für alle |
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08.07.2005, 09:42 | swclhard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Eulersche Polyederformel Schaut euch bitte mal meinen neuesten Beweisversuch an! Ich habe es jetzt mal über E Versucht. 1. Ist daran etwas falsch? (Fehlt noch etwas?) Wenn ja was? 2. Sind die Schreibweisen richtig? Was kann verbessert werden? |
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08.07.2005, 10:22 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im großen und ganzen sieht das OK aus, nur einige Anmerkungen
Das Wort alle würde ich streichen, denn ist gleichbedeutend mit der leeren Menge .
Für mich, dem die Terminologien "Schlinge" oder "Kante eines Kreises" etwas ungewohnt sind, ist das einfach eine Kante, die einen (mit Ausnahme eben dieser Kante) isolierten Knoten mit dem Rest des Graphen verbindet. |
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08.07.2005, 10:28 | swclhard | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis Eulersche Polyederformel Herzlichsten Dank!! So langsam entwickle ich ein gewisses Verständis für Mathe. |
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