Zugrundeliegendes Potential eines Vektorfeldes

08.07.2005, 14:55

pippo

Zugrundeliegendes Potential eines Vektorfeldes

Ich komm hier bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}(x,y) = (\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}, 0 ) \end{eqnarray*}$

Daraus soll nun das zugrundeliegende Potential berechnet werden. Wenn ich das richtig verstande habe, muss ich Fx(x,y)dx ... ausrechnen und dann vergleichen, oder?

Leider häng ich aber dann am Integral $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}~dx \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{x^{2}+y^{2}}~dy \end{eqnarray*}$

08.07.2005, 15:48

Crotaphytus

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Hilft dir

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + c \end{eqnarray*}$

weiter?

08.07.2005, 16:02

pippo

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Ehrlich gesagt nein smile

Hab auch schon mit arctan rumgerechnet, aber scheinbar hock ich etwas auf der Leitung.

Rechnet man das Potential eigentlich so aus?

08.07.2005, 16:27

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Die Frage ist auch, auf welchem Gebiet du das Potential berechnen sollst. Im gesamten Raum (oder hier besser gesagt: der gesamten Ebene) gibt es hier nämlich kein Potential! So ist z.B. $\begin{eqnarray*} \oint\limits_K \vec{F}(\vec{r})\cdot \mathrm{d}\vec{r}\neq 0 \end{eqnarray*}$ für jeden Kreis K um den Ursprung.

08.07.2005, 16:33

pippo

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Wie meinst des? Also, dass es ein Potentialfeld ist, hab ich in der Aufgabe zuvor schon bewiesen, wie es die Aufgabenstellung auch verlangte.

Wenn nun ein Potentialfeld vorliegt, muss es doch auch ein Potential geben, oder nicht?

Die Aufgabe heisst einfach nur: Geben sie den allgemeinen Ausdruck für das zugrundeliegende Potential an

08.07.2005, 17:39

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antwort
gesucht ist hier wohl die Anziehkraft ( Potenzialkraft) versuchs doch mal mit F= m*a

08.07.2005, 17:56

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Zitat:

Original von pippo
Also, dass es ein Potentialfeld ist, hab ich in der Aufgabe zuvor schon bewiesen

Auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ? Das möchte ich sehen. Allenfalls auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, welches den Ursprung nicht enthält. Ansonsten habe ich oben mit dem Kreis nämlich schon ein einfaches Beispiel gegen Konservativität deines Feldes angegeben.

Ach ja, der Integralwert dort ist gleich $\begin{eqnarray*} 2\pi\neq 0 \end{eqnarray*}$ , falls C im positiven Drehsinn um den Ursprung durchlaufen wird.

08.07.2005, 18:25

pippo

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Es geht hier um $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

08.07.2005, 18:31

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Von mir aus auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , das ändert kein Jota an meinen Argumenten.

Vergiss die dritte Komponente, die ist Null, d.h. ein vermeintliches Potential dort konstant.

08.07.2005, 18:47

pippo

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Stimmt, ich hab mich tatsächlich verrechnet. Ist aber seltsam das ganze, denn der Prof meinte, dass in den Vordiplomsprüfungen nie Fangfragen enthalten sind.

08.07.2005, 19:29

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OK, genug mit dem Verwirrspiel:

$\begin{eqnarray*} V(x,y,z) = \arctan\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

ist auf dem Gebiet

$\begin{eqnarray*} G_1 = \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^2 = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \bigm| x>0 \right\} \end{eqnarray*}$

ein Potential zu deinem Kraftfeld. Wenn man V noch etwas modifiziert (Stichwort: Polarkoordinaten), dann kann man es sogar zu einem Potential auf

$\begin{eqnarray*} G_2 = \mathbb{R}^3 \setminus \left(\mathbb{R}_{0-} \times \{0\} \times \mathbb{R}\right) = \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \bigm| y\neq 0\;\mbox{oder}\; y=0,x>0 \right\} \end{eqnarray*}$

ausbauen, oder auf irgendeinem anderen Gebiet, das entlang einer Linie bis zum Ursprung "aufgeschnitten" wird.

Aber zu einem Potential auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ? Nein, wie das obige Gegenbeispiel zeigt.

09.07.2005, 20:11

pippo

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K, danke. Die Vorgehensweise, wie ich das Potential berechnet hätte, wär aber richtig gewesen, oder? Hab nämlich noch grad nen andere Aufgabe gefunden, bei der es jetzt aber sicher ein Potential gibt

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