Probleme mit einer Textaufgabe |
| 08.07.2005, 16:11 | Maxwell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Probleme mit einer Textaufgabe Dabei dauert eine Runde bei Spieler1 13 Sekunden Spieler2 16 Sekunden Spieler3 11 Sekunden a) Wie lange muss das rennen dauern, damit alle Spieler gleichzeitig die Ziellinie überqueren ? (Begründung?) Dise Aufgabe konnte ich denke ich lösen: Da alle 3 Rundenzeiten relativ prim zueinander sind ist das kleinste gemeinsame Vielfache 13 * 16 * 11 = 2288. Also muss das Rennen 2288 Runden dauern richtig ? b) Die 3 Autos fahren nacheinander in der Reihenfolge: Spieler1-Spieler3-Spieler2 mit je 1 Sekunde Abstand über die Ziellinie. Wie lange dauert es bis sie wieder alle 3 gleichzeitig über die Ziellinie fahren ? Hier habe ich Probleme, ich weiss nicht wie ich genau da ran gehen soll, da das Kapitel zu dieser Aufgabe unter anderem von dem ggT handelt vermute ich dass man damit etwas machen kann, aber mit der verschiebung um 1 komme ich nicht klar. c) Ein 4. Spieler kommt hinzu, seine Rundenzeit beträgt 10 Sekunden, er startet jedoch wegen einem Defekt am Auto 3 Sekunden später als die Anderen. Mit welchen Spielern wird er irgendwann gleichzeitig über die Ziellinie fahren, mit welchen nicht ? (Begrüdung?) Ich denke die Lösung ist mit Spieler1, da 10 + 3 = 13, also genau nach einer Runde, und mit Spieler 3, da er ja eine Sekunde schneller ist wird er jede Runde 1 Sekunde aufholen und ihn dann nach 2 Runden überholen. Mit Spieler2 wohl nie, das ist aber nur eine Vermutung. Ich denke wenn ich die verschiebung begriffen habe könnte ich auch diese Aufgabe lösen, aber so konnte ich sie nur lösen, da die ergebnisse sehr offensichtlich waren. Ich würde gerne wissen wie man das formal korrekt begründet. |
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| 08.07.2005, 17:02 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Moin, moin, a) ist richtig. Bei b) und c) musst du lineare Gleichungssysteme aufstellen und lösen. Gib lineare Gleichungssysteme in die Suchfunktion vom Board, bei Google & bei Wikipedia.de ein. |
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| 08.07.2005, 18:42 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte es so versucht, zuerst einmal für a) Angenommen, die Carrera-Bahn ist kreisförmig, dann kann man einen Winkel phi definieren, den jedes Auto seit dem Start auf der Bahn zurückgelegt hat, und wenn man davon Vielfache von 360° abzieht, welchen Winkel das Auto seit dem letzten Passieren der Start-Ziel-Linie zurückgelegt hat. Man kann natürlich auch von beliebig gestalteten Carrera-Bahnen ausgehen und dann mit den Bruchteilen der Bahnstrecke rechnen, die ein Auto in 1 Sekunde zurücklegt. Ich rechne mit den Winkeln, weil ich mir das besser vorstellen kann. Mit t=Zeit seit dem Start phi1, phi2 und phi3 = Winkel seit Start-Ziel-Linie von Auto 1, 2 und 3 n1, n2 und n3 = Anzahl der vollen Runden von Auto 1, 2 und 3 Man erhält mit den bekannten Rundenzeiten 13, 16 und 11 Sekunden/Runde: phi1 = t/13*360° - n1*360° phi2 = t/16*360° - n2*360° phi3 = t/11*360° - n3*360° und wegen phi1=phi2=phi3=0 (gemeinsam über die Ziellinie) folgt 13*n1=t 16*n2=t 11*n3=t und daraus, wenn man die Produkte links so bestimmt, dass sie gleich sind: n1=16*11=176 Runden für Auto 1 n2=13*11=143 Runden für Auto 2 n3=13*16=208 Runden für das schnellste Auto Die benötigte Zeit ist 13*16*11=2288 Sekunden seit dem Start, bis die 3 Autos wieder genmeinsam über die Start-Ziel-Linie fahren. |
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| 08.07.2005, 20:54 | Maxwell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessanter Lösungsansatz, da es sich bei dieser Aufgabe um eine Klausuraufgabe handelt, in der man unter starkem Zeitdruck arbeitet würde ich aber für die Bearbeitung von a) doch eher auf das kgV zurückgreifen da dies schneller geht oder jedenfalls weniger schreibaufwand erfordert. Habe mich mittlerweile ein wenig informiert und folgende Gleichungen für b) aufgestellt: I II III Da die Zahlen ja relativ prim sind, kann ich den chinesischen Restsatz anwenden und bin auf Folgendes Ergebnis gekommen: Nach 1937 Sekunden tritt die in der Textaufgabe beschriebene Situation ein, wenn ich dann mit dem Ergebnis aus a) rechne: 2288 - 1937 = 351, dann weiss ich: das nächste mal fahren die Autos in 351 Sekunden gleichzeitig über die Ziellinie. Da in der Klausur kein Taschenrechner erlaubt ist und man hier doch mit recht großen Zahlen arbeiten muss, dauerte die Rechnung doch recht lang, war es dieses Gleichungssystem was du im Kopf hattest Phi, oder gibt es einen schnelleren und weniger Fehlerträchtigen Lösungsweg ? edit: jetzt gerade wo ich meine Gleichungen poste sehe ich einen Fehler, die 2. gleichung brauch ja eine 2 mod 16 Kronguenz, bitte Trotzdem um Hilfe, ist der Lösungsweg an sich richtig ? effektiv ? edit: So mit der veränderten II habe ich nun raus: 1794, also 2288 - 1794 = 494 also 494 Sekunden |
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| 08.07.2005, 23:22 | etzwane | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast völlig recht, aber ich wollte nicht ohne weitere Begründung einfach das kgV ausrechnen, sondern wollte wissen, warum. Und hatte dabei auch an einen möglichen Ansatz für die weiteren Aufgaben gedacht. Und die Erweiterung auf Aufgabe b) ist damit schnell gemacht: phi1 = t/13*360° - n1*360° phi2 = (t-2)/16*360° - n2*360° phi3 = (t-1)/11*360° - n3*360° und wegen phi1=phi2=phi3=0 folgt diesmal: 13*n1=t 16*n2+2=t 11*n3+1=t also 13*n1-16*n2=2 mit der Lösung: n1=10+16*u, n2=8+13*u 13*n1-11*n3=1 mit der Lösung: n1=6+11*v, n3=7+13*v und aus den beiden Gleichungen für n1 folgt 16*u-11*v=-4 mit der Lösung: u=8+11*w, v=12+16*w (Lösungen mittels http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm) und daraus für w=0: n1=138, n2=112, n3=163 Runden und t=1794 Sekunden, d.h. nach dieser Zeit fahren sie gleichzeitig über die Ziellinie. Setzt man jetzt w=1, dann erhält man für die Zeit, wann die Autos das nächste Mal über die Ziellinie fahren, t = 4082 Sek., und das sind gleich die 1794 Sek. + die 2288 Sek. von Aufgabe a), die Rechnung so sollte also stimmen. |
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