Hesseform Ebene -> Normalenvektor als Zahl

08.07.2005, 20:47

Ubier

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Hesseform Ebene -> Normalenvektor als Zahl

Guten Abend zusammen.

Ich hab ne vielleicht etwas blöde Frage zur Hesseform der Ebene. Leider hat mir der Schwachsinn schon mal ne Klausur vermasselt, vielleicht kann mich ja jemand erleuchten, in den T&T und in der Suche taucht das Problem nicht auf.

Gegeben sei eine Ebene In Hesseform: [r-r1]*n=0. Der Einheitsvektor n war allerdings als Dezimalwert, nämlich mit einer Vier angegeben. Wie komme ich von dort aus auf meinen Noramlenvektor? Immerhin brauch ich den ja für ne Umwandlung z.B. zu Parametern. Das sah dann in der Klausur so aus [r-r1]*4=0, den Wert für r1 weiss ich leider nicht mehr, aber mir geht es auch eher ums Prinzip. Wie ich von da an weiter komme weiss ich.

Schon im Voraus vielen Dank.

08.07.2005, 21:09

derkoch

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Zitat:

Der Einheitsvektor n war allerdings als Dezimalwert, nämlich mit einer Vier angegeben. Wie komme ich von dort aus auf meinen Noramlenvektor? Immerhin b

verwirrt

einen vektor als skalar angegeben? dasist mir neu? hab ich was verpaßt?

08.07.2005, 21:24

Ubier

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Jein, ich müsste mir wohl aus dem Skalar den Vektor basteln bzw. das Skalar wird ne Bedingung des Normalenvektors sein. Ich hab zwar Umformungen wie r*n - r1*n = 0 und r*n=r1*n, aber das bringt mich nicht wirklich weiter.

08.07.2005, 21:59

Ubier

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Ich hab nen Ansatz wie es gehen könnte. Wenn ich die Hesseform ausmultipliziere komme ich ja auf r1*n=a. Das n ist ja im dem Fall wohl einfach bereits das Skalarprodukt, dass kann (?) ich doch mit den Achsenkomponenten von r1 multiplizieren. Daraus ergibt sich dann folgende Gleichung:

(r1x)*x+(r2x)*y+(r3z)*z=a

Zwei Koordinatenwerte frei wählen und zum fehlenden umstellen. Damit hätte ich ja nen Normalenvektor, der die Bedingung erfüllt. Aber ob das so einfach geht. Mal mit nem bekannten Beispiel nachrechnen.

09.07.2005, 10:29

brunsi

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und gehts?

09.07.2005, 10:45

Ubier

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Keins gefunden ;o) Ich müsste ja eins haben wo der Normalenvektor als Skalar gegeben ist und ich den Aufpunkt habe. Die Rechnung selbst geht natürlich, wenn der Normalenvektor auch als Vektor gegeben ist. Ich weiss nur nicht ob ich das Skalar so einfach mit jeder Komponente des Aufpunktes multiplizieren kann / darf.

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09.07.2005, 10:53

Leopold

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Aus der Koordinatenform kann der Normalenvektor abgelesen werden. Er setzt sich zusammen aus den Koeffizienten vor den Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ .

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 9x_1+7x_2-2005x_3 - 2222 = 0 \end{eqnarray*}$

Ein Normalenvektor dieser Ebene ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ -2005 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfache hiervon.

09.07.2005, 11:33

Ubier

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Hilft nix, da ich die Koordinatenform nicht gegeben habe. Umrechnen bzw. umstellen kann ich das alles. Ich kann nur nix mit dem Skalar anfangen.

09.07.2005, 11:43

Leopold

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Wir reden hier aneinander vorbei. Schreib erst einmal die Aufgabe VOLLSTÄNDIG MIT ALLEN VORGABEN UND FORMELN hin. Vorher geht es hier nicht weiter.

09.07.2005, 14:16

Ubier

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Ich hatte zwei Ebenen gegeben. Die eine in der angegeben Hesseform, die zweite als Parameter. Aufgabe war aus der Hesse- die Parameterform zu machen und danach die Lage der beiden Ebenen zu klären (parallel / identisch oder schneidend / windschief). Ich hatte nicht mehr als die Hesseform zum rechnen, genau da liegt ja mein Problem.

09.07.2005, 15:16

Leopold

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Zitat:

Original von Ubier
Ich hatte zwei Ebenen gegeben. Die eine in der angegeben Hesseform, die zweite als Parameter.

Du meinst wohl Parameterform und nicht Parameter (das Letztere wäre sinnlos).
Eine Normalenform in eine Parameterform umzuwandeln ist ziemlich sinnlos, da man ja nur alles verkompliziert. Aber wenn es denn doch sein muß, mußt du nur für zwei Koordinaten Parameter einführen und nach der dritten Koordinate (Koeffizient darf nicht Null sein) auflösen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 2x_1-x_2+3x_3 = 3 \end{eqnarray*}$

Führe für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Parameter ein: $\begin{eqnarray*} x_1 = \lambda, \ x_3 = \mu \end{eqnarray*}$ . Löse nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auf:

$\begin{eqnarray*} x_2 = -3 + 2 \lambda + 3 \mu \end{eqnarray*}$

Die drei Parametergleichungen lauten somit:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} x_1 & = & 0 & + & \lambda \cdot 1 & + & \mu \cdot 0 \\ x_2 & = & -3 & + & \lambda \cdot 2 & + & \mu \cdot 3 \\ x_3 & = & 0 & + & \lambda \cdot 0 & + & \mu \cdot 1 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Zusammengefaßt zu einer Vektorgleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das ist eine Parameterform der Ebene. Aber wie gesagt: Das sollte man niemals tun, da eine Parameterform viel schwerer zu handhaben ist als eine Normalenform.

Um die Lage deiner beiden Ebenen zu bestimmen, brauchst du auch gar nicht umformen. Halten wir noch einmal fest: die eine Ebene ist in Normalenform gegeben, die andere in Parameterdarstellung. Dann zerlegst du einfach die Vektorgleichung in drei Gleichungen (also umgekehrt wie oben vorgeführt) und setzt die Parameterausdrücke in die Normalenform ein. Bekommst du einen auflösbaren Zusammenhang zwischen den Parametern, so schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Fallen beide Parameter hingegen aus der Gleichung heraus, so sind die Ebenen identisch, wenn eine wahre Aussage zurückbleibt, dagegen echt-parallel, wenn eine falsche Aussage zurückbleibt.

09.07.2005, 16:10

Ubier

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Ich nix gut Ausdruck :o( Folgendes: Ich hatte die Hesseform so wie oben angegeben, mit dem Skalar als Normalenvektor. Aus dieser Variante sollte ich die Parameterform bilden.

Ich hatte nur den Aufpunkt und den Skalar, wie komme ich von da zum Normalenvektor? Danach hätte ich für die Parameterform einfach Richtungsvektoren berechnet, die als Skalarprodukt mit dem Normalenvektor Null ergeben. Das ist ja die Bedingung, da n ja senkrecht auf den Richtungsvektoren der Parameterform steht.

Das ist aber alles nicht mein Problem. Ich hab nur die Hesse in der Form [r-r1]*4=0 und soll daraus die Parameterform dieser Gleichung machen. Ich kann das ja nicht auf die Koordinatenform zurückführen, weil mir die Koeffizienten von n fehlen.

Und das das ganze nicht wirklich Sinn macht ist klar, aber unser Prof will es so, weil er halt sehen möchte, dass wir zwischen Koordinaten, Hesse und Parameter hin und her wandeln können ;o)

09.07.2005, 17:31

derkoch

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schreibt dochmal wie leopold es gesagt hat, diew ganze aufgabenstellung mit den ganzen angaben hin!
meiner meinung hast du etwas übersehehen oder was falsches abgeschrieben!

weil ich kenne nur das hier :

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{x} -d = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ist bei dir $\begin{eqnarray*} \vec{r}-\vec{r_1} \end{eqnarray*}$ dann müßte demnach dein normalenvektor ja 4 entsprechen und das ist schrott!

09.07.2005, 20:45

Ubier

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Gegeben sind die Ebene E1 in Normalenform und E2 in Parameterform.

a) Wie lautet die Parameterform der Ebene E1?
b) Welche Lagebeziehung besteht zwischen den Ebenen?
c) Wenn die Ebenen parallel verlaufen, berechnen sie den Abstand, sollten sie sich schneiden berechnen Sie die Schnittgerade.

So ähnlich war die Aufgabe in der Klausur, wir kriegen die in der FH nicht zurück und ich konnte sie nur kurz einsehen.

E1 hatte die angesprochene Form: [r-r1]*4=0, wobei r1 natürlich mit allen Komponenten gegeben war. Das ist ja mein Problem. Ich hab kein weiteres Beispiel mit einem Dezimalwert anstelle des Normalenvektors + Aufpunkt.

09.07.2005, 23:26

dumdidum

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möglicherweise stellt diese 4 eine MULTIPLIKATION mit (z. B.) dem Vektor (1 ; 0; 0) dar!
So ginge es zumindest. Weil 4 * (1 ; 0 ; 0) = 4 * 1 + 0 + 0 = 4.

10.07.2005, 00:39

JochenX

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Zitat:

[r-r1]*4=0

das ist einfach pustekuchen.... ganz einfach, tippfehler oder so

multiplikation mit einem skalar gibts schon (geometrisch streckung), dann kommt aber wieder ein vektor raus.
wenn die 0 der nullvektor (0/0/0) ist, dann würde das hier auch eine vektormenge darstellen, nämlich {r1}.
aber als ebenenform nicht zu gebrauchen, außer ihr definiert diese "4" besonders, etwa als "(4/4/4)", aber das glaube ich nicht, und diese definition müsste dir bekannt sein.
ein skalar sucht in der ebenengleichung nix - und damit relativ basta.

10.07.2005, 01:11

dumdidum

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klares "jein" verwirrt

verwirrt

wieso sucht ein skalar in ner ebenengleichung nix?
wenn eben diese in *koordinatenform* gegeben ist, tritt sehr häufig auch ein Skalar auf! Es kommt immer auf die Gleichungsform an; du kannst nicht pauschal sagen, es gibt nie ein Skalar.

Beim Hesse in bestimmter Schreibweise gibts auch ein Skalar:
http://www.matheboard.de/tipp.php?tipp=Hessesche_Normalform

Schau dir mal das '- c' an! Hammer

Hammer

Na wenn das kein Skalar is Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht ist das nicht "r MINUS r1 in Klammern MAL 4", sondern "r MAL r1 in Klammern MINUS 4"?
Ich hab langsam so einen Verdacht...
dann hätten wir den Hesse nämlich wieder Big Laugh

Big Laugh

10.07.2005, 01:13

dumdidum

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korrigiere: nicht den Hesse, sondern die ALLGEMEINE Normalform (die auch im obigen Link beschrieben wird)

10.07.2005, 09:41

Ubier

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r1*n ergibt aber a, nicht Null. Schau Dir mal ne Ebene in Hesse an, da ergibt die Multiplikation auch nie Null.

10.07.2005, 11:24

JochenX

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Zitat:

wieso sucht ein skalar in ner ebenengleichung nix?
wenn eben diese in *koordinatenform* gegeben ist, tritt sehr häufig auch ein Skalar auf!

kein meister des genau lesens hmm?
ich habe nicht in "einer" gesagt, sondern in DIESER, bzw. in DER

auch -4 würde in dieser form noch nicht ausreichen, denn dann wäre deine form umgeschrieben (r-r1)=4 und "vektor=4" ist im IR^3 keine sinnvolle gleichung

10.07.2005, 12:28

Ubier

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Leute, vielen Dank für die Hilfe und das große Feedback aber ich glaub ohne den genauen Aufpunktvektor (der ja gegeben war) kommen wir da nicht weiter. Ich weiss das die Aufgabe so gestellt war und mir wurd auch gesagt, dass es so gewollt ist. Als ich den Prof. gefragt hab was das sollte, meinte er ich hätte mir den Vektor doch durch ausmultiplizieren der Hesse herleiten können. IMO ist der Weg r1*4=a und dann nach Komponeten umstellen die die Gleichung erfüllen wohl der einzige Weg, da was sinnvolles draus zu machen. Ich werd es einfach probieren, ansonsten hol ich mir die Punkte halt woanders.

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