Anwendung der Givensrotation und Householderreflexion

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zco Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung der Givensrotation und Householderreflexion
Hallo, Wink

ich bin echt am verzweifeln. Ich versuche auf eine einfache 3x3 Matrix die Givens-Rotation oder die Householder-Reflexion anzuwenden, aber ich bekomm das einfach nicht hin.

Die beiden Verfahren funktionieren doch nur für symmetrische Matrizen. Deshalb hab ich mir A einfach mal so ausgedacht. Aber ich hab jetzt keine Ahnung wie's nun los geht. Das Buch von meinem Prof. hilft mir dabei leider überhaupt nicht (bin wahrscheinlich zu dumm dafür Hammer )
Kann mir bitte jemand helfen?
gin Auf diesen Beitrag antworten »

hi
weiss nicht genau ob ich dir helfen kann, ist householder-reflexion das selbe wie householder-elimination?
und bei givens-rotation, wendet man die nicht an um einträge der matrix zu null zu machen? wenn ja glaube ich ist auch garnicht symmetrisch nötig, aber ich glaube das ich da was verwechsele.

bei householder elimination(also eine bel. matrix auf eine obere dreicksmatrix zu bringen) könnte ich wenn nur helfen...

mfg gin
zco Auf diesen Beitrag antworten »

gute Frage, die ich aber leider nicht beantworten kann. Meine Literatur ist ziemlich dünn und ich hab auch noch nicht viel Ahnung davon. Und was die Symmetrie anbelangt kann ich nur sagen, das das Kapitel aus dem Buch die Überschrift "Symmetrisches Eigenwertproblem: QR-Verfahren" trägt und wir gleich am Anfang vorraussetzen, das eine Matrix A symmetrisch ist
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

http://homepage.univie.ac.at/Franz.Vesel.../dx/node21.html
zco Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Link, aber ehrlich gesagt helfen mir die Erklärungen auch nicht weiter
gin Auf diesen Beitrag antworten »

also der link ist übrigens householder-elimination. wie das bsp auch zeigt handelt es sich da auch um keine symmetrische matrix. das mit dem QR-verfahren zur näherungsweise bestimmung von eigenwerten, habe ich auch in numerische mal durchgenommen aber weiss ehrlich gesagt nicht mehr wie es ging. wie man aus A=QR hinbekommt kriege ich aber noch hin. aber wie man eigenwerte und das ganze zeug bestimmt habe ich keinen schimmer mehr.
mfg gin
 
 
zco Auf diesen Beitrag antworten »

Die QR Zerlegung würde mir ja erstmal vollkommen reichen Hilfe
zco Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen Wink

Hmm, ich hab jetzt ein bissel die Householder verstanden. Auf der englischen Wikipedia-Seite habe ich ein Beispiel gefunden für folgende Matrix:

dabei ist

so weit kann ich mir das merken. v ist nun definiert durch

das würde eigentlich

ergeben. In dem Beispiel wird der Vektor allerdings noch halbiert wodurch

entsteht. Auf der englischen Seite, die Tobias angegeben wird von normalisieren gesprochen. Wenn man das nicht macht, kommen natürlich andere Ergebnisse raus. Also warum muss ich das machen und vor allem wie?
bil Auf diesen Beitrag antworten »

ja wikipedia macht es etwas anders aber müsste aufs selbe rauskommen.
ich gebe dir mal meine definition dazu:
, mit , dann gibt es eine obere orthogonale matrx und eine oberer dreiecksmatrix mit
(QR-zerlegung)

ok um Q zu bekommen wende ich die householder elimination an. mit der householder elimination kann ich einzelne spalten unter der diagonale zu null machen, genauso wie bei der gausselimination. die ist so def:
householder matrix zum vektor v:

und ist der erste eintrag vom vektor.



übrigens ist die zweier norm zum quadrat von dem vektor.

ok jetzt kann man v schonmal berechnen. und mit v können wir auch die entsprechende householder matrix H erstellen.

dann rechnest du H*A und erhälst
und sollte dann alle elemente in der ersten spalte ausser null haben.

jetzt beginnt das ganze spiel von vorne aber du startest jetzt mit der matrix und nimmst dir von dem die zweite spalte und erhälst und
dann sollte



sein und A'' hat in der ersten und zweiten spalte alle elemente unter der diagonale =0.
und das spiel machst du solange bis du am ende eine obere dreiecksmatrix R rausbekommst.

das heisst:H'''''' ist jetzt einfach beliebig gewählt von mir kommt halt drauf an wie gross deine matrix A ist. bei 3x3 sollte es maximal H'' geben

weil ja orthogonale matrix ist gilt
also



jetzt haben wir dann A=QR mit

sieht jetzt alles etwas kompliziert aus, ist es aber ansich nicht. musst einfach mal durchprobieren das verfahren.
mfg bil
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren

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> QRmitG
Es wird eine QR-Zerlegung mit Givens berechnet.
====================================================
---------------------------------
| p=sqrt(a(jj)²+a(i,j)²)     |
| c=a(j,j)/p                    |
| s=a(i,j)/p                    |
---------------------------------
 
Matrix A eingeben: [1,2,3;2,4,5;3,5,6]
A0 =
     1     2     3
     2     4     5
     3     5     6
 
Durchgang 1 
================
Qk =
    0.4472    0.8944         0
   -0.8944    0.4472         0
         0         0    1.0000
Ak =
    2.2361    4.4721    5.8138
         0         0   -0.4472
    3.0000    5.0000    6.0000
 
Qk =
    0.5976         0    0.8018
         0    1.0000         0
   -0.8018         0    0.5976
Ak =
    3.7417    6.6815    8.2851
         0         0   -0.4472
   -0.0000   -0.5976   -1.0757
 
Durchgang 2 
================
Qk =
     1     0     0
     0     0    -1
     0     1     0
Ak =
    3.7417    6.6815    8.2851
    0.0000    0.5976    1.0757
         0         0   -0.4472
 
 
Die QR-Zerlegung mit Givens
--------------------------------
A =
     1     2     3
     2     4     5
     3     5     6
Q =
    0.2673    0.3586   -0.8944
    0.5345    0.7171    0.4472
    0.8018   -0.5976         0
R =
    3.7417    6.6815    8.2851
    0.0000    0.5976    1.0757
         0         0   -0.4472


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QRmitH
Es wird eine QR-Zerlegung mit Householder berechnet.
====================================================
---------------------------
| H=I-ß*uu^T              |
| u=x+sign(x1)*||x||_2*e1 |
| ß=2/(u^Tu)              |
---------------------------
 
Matrix A eingeben: [1,2,3;2,4,5;3,5,6]
A0 =
     1     2     3
     2     4     5
     3     5     6
 
Durchgang 1 
================
x =
     1
     2
     3
signx =
     1
e1 =
     1
     0
     0
u =
    4.7417
    2.0000
    3.0000
beta =
    0.0564
 
H =
   -0.2673   -0.5345   -0.8018
   -0.5345    0.7745   -0.3382
   -0.8018   -0.3382    0.4927
Qk =
   -0.2673   -0.5345   -0.8018
   -0.5345    0.7745   -0.3382
   -0.8018   -0.3382    0.4927
Ak =
   -3.7417   -6.6815   -8.2851
   -0.0000    0.3382    0.2400
   -0.0000   -0.4927   -1.1400
 
Durchgang 2 
================
x =
    0.3382
   -0.4927
signx =
     1
e1 =
     1
     0
u =
    0.9358
   -0.4927
beta =
    1.7881
 
H =
   -0.5659    0.8245
    0.8245    0.5659
Qk =
    1.0000         0         0
         0   -0.5659    0.8245
         0    0.8245    0.5659
Ak =
   -3.7417   -6.6815   -8.2851
   -0.0000   -0.5976   -1.0757
   -0.0000         0   -0.4472
 
 
Die QR-Zerlegung mit Householder
--------------------------------
A =
     1     2     3
     2     4     5
     3     5     6
Q =
   -0.2673   -0.3586   -0.8944
   -0.5345   -0.7171    0.4472
   -0.8018    0.5976   -0.0000
R =
   -3.7417   -6.6815   -8.2851
   -0.0000   -0.5976   -1.0757
   -0.0000         0   -0.4472
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