Warum ist diese Funktion nicht stabil?

27.01.2008, 13:24

Mr.Floppy

Warum ist diese Funktion nicht stabil?

y[n]=nx[n]

Stabil bedeutet doch, dass bei einem beschränkten Eingangssignal auch ein beschränktes Ausgangssignal vorliegt. Aber laut meinen Lösungen ist diese Funktion nicht stabil.

Mit den anderen Aufgaben hatte ich keine Probleme das zu erkennen/verstehen, aber hier frage ich mich, ob das wirklich so richtig ist?

27.01.2008, 17:54

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Warum ist diese Funktion nicht stabil?
Deine Funktion lautet also $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , oder wie?

27.01.2008, 18:15

Mr.Floppy

Auf diesen Beitrag antworten »

Öhm, glaube nicht, wie kommst du dadrauf?

In der Aufgabenstellung steht x[n] ist Eingangssignal, y[n]=S{x[n]} das Ausgangssignal des Systems S.

Was x[n] nun konkret ist, ist nicht gegeben....

27.01.2008, 18:44

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte meine eventuell dumme Frage, aber wie ist denn ein "Eingangssignal" bzw "Ausgangssignal" mathematisch definiert? Und was bedeutet die eckige Klammer hinter dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2008, 18:57

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es hier um digitale Signalverarbeitung oder Regelungstechnik? x[n] ist vermutlich eine (beliebige) Zahlenfolge.

Was bedeutet denn der Begriff "stabil" in deinem Zusammenhang?

27.01.2008, 19:17

Mr.Floppy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja sorry, also es geht mehr oder minder um Systeme und Signale.

Stabil bedeutet, dass ein "System S" ein beschränktes Ausgangssignal liefert, wenn es ein beschränktes Eingangssignal bekommen hat.

Beispiel1: y(t)=e^(x(t))

y(t) ist stabil, weil ich schon Unendlich (also ein nicht beschränktes Eingangssignal) für x(t) einsetzen müsste, damit y(t) (also die e-Funktion) divergiert.

Beispiel2: y(t)=dx/dt(t)

Also eine einfache Ableitung.
y(t) ist nicht stabil, da bei einer steilen Flanke (z.b. Rechtecksignal) die Steigung unendlich sein kann und somit durch 0 geteilt werden würde (man erinnere sich z.B. ans Steigungsdreieck).

Die meisten Systeme (die mir bisher unter gekommen sind) waren eigentlich stabil. Ehrlich gesagt waren es bisher nur die Ableitung, die o.g. Funktion (y[n]=n*x[n] - bei der ichs nicht verstehe) und eindeutige Sachen wie Integral mit unendlicher Grenze oder sonstiges Limes-Geschichten NICHT stabil.

Kann es etwas damit zu tun haben, dass y[n]=n*x[n] diskret ist?
Aber y[n]=x[n]*x[n-1] ist z.B. auch stabil...

Ich will nicht ausschließen, dass die vom Prof. vorgegebene Lösung falsch ist - aber das kommt leider sehr selten vor.

Die Kommilitonen haben übrigens auch keine Ahnung^^

27.01.2008, 21:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mr.Floppy
Stabil bedeutet, dass ein "System S" ein beschränktes Ausgangssignal liefert, wenn es ein beschränktes Eingangssignal bekommen hat.

Ich habe es noch nicht komplett verstanden bzw. finde diese Formulierung etwas ungenau. Willst du vielleicht einfach folgendes sagen?
Für eine beliebige Menge $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt die Funktion (oder das "System") $\begin{eqnarray*} S:A\times \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stabil, falls für jede beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} x:A\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} y:A\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} y(t)=S(t,x(t)) \end{eqnarray*}$

selbst beschränkt ist.

Das wäre das, was ich dem Ganzen jetzt entnommen hätte.

28.01.2008, 09:01

Mr.Floppy

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also im Script steht wörtlich:

Ein System heißt stabil, wenn jedem beschränktem Eingangssignal x(t) ein ebenfalls beschränktes Ausgangssignal y(t)=S{x(t)} zugehört, d.h. wenn aus |x(t)| <= X < unendlich für alle t € R und ein X >= 0 folgt, dass |y(t)| <= Y < unendlich für alle t € R und ein Y >= 0 gilt.

Sorry für die mangelnde Formatierung - hab gleich Klausur^^

28.01.2008, 09:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja auch genau das was MSS geschrieben hat, nur dass du das allgemeine $\begin{eqnarray*} A\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ von MSS auf $\begin{eqnarray*} A=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ausgedehnt hast.
Die Frage ist nun eigentlich was bedeutet $\begin{eqnarray*} y[n]=n\cdot x[n] \end{eqnarray*}$ ?
Soll das $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ heissen und eine Folge meinen?

28.01.2008, 09:29

Mr.Floppy

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich habs nicht mit Definitionen - ich glaube ich hätte jetzt nich erkannt, dass beides dasselbe ist smile

y[n] ist einfach eine diskrete Funktion... als das, was in meiner genannten Definition das x(t) wäre...

edit: in 10Min muss ich mich leider aufs Fahrrad schwingen - betet für mich smile

28.01.2008, 09:34

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, was wäre dann mit
$\begin{eqnarray*} x[n]:=\frac{1}{n-5} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ stünde da $\begin{eqnarray*} \frac{5}{0}\to\infty \end{eqnarray*}$ , also hätte man ein Gegenbeispiel?

28.01.2008, 18:25

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, für $\begin{eqnarray*} n=5 \end{eqnarray*}$ ist doch dein $\begin{eqnarray*} x[n] \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, das sollte aber schon sein. Und der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{0}\to\infty \end{eqnarray*}$

macht wirklich absolut gar keinen Sinn. (Ich hab irgendwie manchmal das Gefühl, dir fehlt es ein wenig an mathematischer Präzision. Ist aber nicht böse gemeint oder so etwas, wundert mich nur ein wenig.)

In dem Falle ist mMn $\begin{eqnarray*} A=\mathbb N \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb N,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} S(a,b)=ab \end{eqnarray*}$ .

Für die Stabilität von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ müsste man ja zeigen, dass für jede beschränkte Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} x_n=x[n] \end{eqnarray*}$ auch die Zahlenfolge

$\begin{eqnarray*} y_n=y[n]=n\cdot x[n]=nx_n \end{eqnarray*}$

beschränkt ist. Dass das natürlich nicht der Fall ist, sieht man ganz schnell. Nachdem wir uns nun also klar gemacht haben, was das Ganze eigentlich bedeutet, solltest du schnell ein Gegenbeispiel finden.

30.01.2008, 13:47

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin davon ausgegangen, dass hier das System eben versucht die Folge auszuwerten, koste es was es wolle, und deshalb hab ich ja extra ein für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ nicht definierten Ausdruck verwendet.

Ich glaube aber, wenn ich schrieb $\begin{eqnarray*} \frac{5}{0}=\infty \end{eqnarray*}$ hätte dir das auch nicht gefallen und mit einem $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ davor machts wieder für den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ keinen sinn Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Warum ist diese Funktion nicht stabil?

Verwandte Themen