Kurvendiskussion e^1/x

27.01.2008, 13:39

Desecrator

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Kurvendiskussion e^1/x

Hallo zusammen,

wir schreiben am Dienstag Schulaufgabe, da wollte ich noch ein paar Übungen machen.
Hab hier eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

Zur Diskussion: meiner Ansicht nach hat die Funktion keinerlei Nullstellen sowie keine Def-Lücken. Hochpunkt/Tiefpunkt gibts dann ebenfalls nicht, da die Ableitung der e-Fkt ja die e-Fkt bleibt.

Seh ich das richtig oder beweg ich mich hier in ganz falsche Richtung?

Danke euch!!!
ciao, Sandro

27.01.2008, 13:49

Bjoern1982

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Stimmt alles bis auf 2 Sachen:

1.) Eine Stelle, di man aus der Definitionsmnege ausschließen sollte gibt es in er Tat

2.) Extrempunkte gibt es nicht deshalb weil die Ableitung der e-Funktion auch wieder die e-Funktion ist...durch die Kettenregel könnte ja immer noch eintscheidendes dazu kommen, was auch bei der 2. Abletung passieren sollte (Wendepunkte)

Hilft das weiter ?

Gruß Björn

27.01.2008, 14:01

M1cha

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vielleicht sollte man noch dazu sagen, dass nur $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ bei der Ableitung gleich bleibt, denn nach der Kettenregel musst du ja den Term im Exponenten ableiten (also x) und mit der Funktion selbst multiplizieren
also $\begin{eqnarray*} f'(x) = (x)' * e^x = f'(x) = 1 * e^x = f'(x) = e^x \end{eqnarray*}$

Bei deiner Funktion ist der Term im Exponenten ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
also folgt daraus
$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{1}{x})' * e^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen

MfG
M1cha

27.01.2008, 17:07

Desecrator

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hallo und danke schon mal für eure hilfen!

gut, da habe ich wohl nicht richtig nachgedacht: def-lücke ist natürlich 0, da 1/0 ja nicht möglich. Korrekt so?
Wenn ich lim x-> +-oo mache, kommt aber auch +-oo raus oder?

und extrema hab ich tatsächlich keine oder?

27.01.2008, 17:28

M1cha

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a) Die Definitionslücke ist richtig.

b) Für x gegen unendlich verläuft f(x) nicht gegen unendlich..versuche dir erstmal klar zu machen gegen welchen Wert der Exponent läuft, danach kannst du Aussagen über das Verhalten im unendlichen über f(x) machen.

c) Da $\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{1}{x^2} * e^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist, findest du tatsächlich keine Extremstellen

Gruß
M1cha

27.01.2008, 18:22

Desecrator

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heieieieiei.

ich weiß es einfach net was an der def-lücke passiert unglücklich

unglücklich

bitte sags mir!!!!!

und wieso ist in f' ein x²?!? oh gott, ich glaub ich sollte lieber blau machen als die schulaufgabe mitzuschreiben......

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27.01.2008, 18:28

Duedi

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$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x) = x^{-1-1}\cdot (-1)=-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

P.S. Denk dir am besten nicht, dass bei abgeleiteten Funktionen immer eine kleinere Zahl im Exponenten steht. Das gilt nämlich nur für Polynome, deren Exponent größer -1 ist

Wink

Wink

Philipp

27.01.2008, 18:45

Desecrator

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ajoooooooooooo, so war das *g*

ist das dann richtig:

$\begin{eqnarray*} f''=\frac{1}{2x^{5} } * e^{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

27.01.2008, 19:02

Duedi

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leider nein^^

27.01.2008, 19:11

Desecrator

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*grummel*

was kommtn dann raus?!?
und was is mitm limes an 0?

27.01.2008, 19:22

Duedi

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Also erstmal die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-e^{\frac{1}{x}}}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^{\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + e^{\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{2}{x^3}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =e^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1+2x}{x^4}\right) \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du dir Nullstellen und Extremwerte berechnen.
Versuch jetzt mal die Grenzwerte gegen alle Intervallgrenzen ( $\begin{eqnarray*} -\infty; 0; \infty \end{eqnarray*}$ )

27.01.2008, 19:27

Desecrator

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na nullstellen und extrema gibts ja nicht.
ich weiß es einfach nicht was ich an +-oo machen soll... bitte kau es mir doch vor, dann schnall ichs schon wieder!

bei f'' weiß ich auch grad garnet wie du auf die letzte klammer kommst (2/x³)?!?

27.01.2008, 19:53

Duedi

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Die Klammer kommt daher, dass man $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ableitet (Du erinnerst dich: $\begin{eqnarray*} f(x) = u(x) \cdot v(x) \Rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$ ). So die Grenzwerte sind also folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{1}{x}}=1^+ \end{eqnarray*}$ (wenn x gegen unendlich geht, geht 1/x gegen 0, und zwar von größer als 0 gegen 0, wie beim Graphen von 1/x; wenn 1/x gegen 0 geht, geht f gegen 1, da e^0 = 1)
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty}e^{\frac{1}{x}}=1^- \end{eqnarray*}$ (dasselbe wie vorhin, nur dass sich der Graph gegen 0 nähert, aber von unten her, deswegen das 1^-)
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0^+}e^{\frac{1}{x}}=+\infty \end{eqnarray*}$ (wenn x von x>0 gegen 0 geht, geht 1/x gegen unendlich, das heißt f geht gegen plus unendlich)
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0^-}e^{\frac{1}{x}}=-\infty \end{eqnarray*}$ (wenn x von x<0 gegen 0 geht, geht 1/x gegen minus unendlich => f geht gegen - unendlich)

P.S. An die fortgeschrittenen Mathematiker: Verzeiht mir die plus und minus als Exponenten bei 1 und 0, aber das ist einfach schön anschaulich^^

27.01.2008, 20:05

Desecrator

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dann gehts ja doch gegen +-oo, das ist ja dann doch richtig was ich vorher gesagt hab smile

smile

ja richtig, wenn ich -1/x² ableite, dann kommt doch -2x^-3 raus oder?!?

und das wiederum wäre doch aber -(2/x³) oder?!?

27.01.2008, 20:07

Duedi

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richtig und das wäre dann der ominöse faktor^^.
Vorhin hast du aber gesagt, dass wenn x gegen unendlich geht, auch f gegen unendlich; das ist aber nicht der fall. f geht gegen unendlich wenn x gegen 0 geht. Kleiner Unterschied Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Halt das minus kommt nicht mehr davor, weil:
$\begin{eqnarray*} (-x^{-2})'=-1\cdot(-2)\cdot x^{-3}= +2x^{-3} \end{eqnarray*}$

27.01.2008, 20:09

Desecrator

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*argh*

du hast aber oben nicht -(2/x³) angegeben sondern PLUS (2/x³) *g*
und was stimmt nun?!? und falls doch dein PLUS stimmt: WARUM?!?

27.01.2008, 20:10

Duedi

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siehe mein edit im letzten Beitrag von mir

27.01.2008, 20:12

M1cha

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Zitat:

Original von Desecrator
na nullstellen und extrema gibts ja nicht.
ich weiß es einfach nicht was ich an +-oo machen soll... bitte kau es mir doch vor, dann schnall ichs schon wieder!

bei f'' weiß ich auch grad garnet wie du auf die letzte klammer kommst (2/x³)?!?

dann mach ich mir ma die mühe und rechne dir f''(x) vor Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \left(- \frac{1}{x^2}\right) * e^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
Hierauf kannst du jetzt die Produktregel anwenden
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \left(\left(- \frac{1}{x^2}\right)' * e^\frac{1}{x}\right) + \left(- \frac{1}{x^2} * \left(e^\frac{1}{x}\right)'\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \left(\left(\frac{2}{x^3}\right) * e^\frac{1}{x}\right) + \left(- \frac{1}{x^2} * \left(-\frac{1}{x^2} * e^\frac{1}{x}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Hier vereinfachst du jetzt alles
$\begin{eqnarray*} f''(x) = \left(\frac{2e^\frac{1}{x}}{x^3} \right) + \left(- \frac{1}{x^2} * \left(-\frac{e^\frac{1}{x}}{x^2} \right)\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -\frac{2e^\frac{1}{x}}{x^3} + \end{eqnarray*}$

Hier kannst du jetzt e^(...) ausklammern
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^\frac{1}{x}\left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^4}\right) \end{eqnarray*}$

Durch Erweiterung im ersten Klammerterm folgt dann
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^\frac{1}{x}\left(\frac{2x+1}{x^4}\right) \end{eqnarray*}$

So, das wars.ich hoffe ich hab nich zulange damit gebraucht,latex coden is nich so mein ding Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß
M1cha

27.01.2008, 20:15

Duedi

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Zitat:

Original von M1cha
So, das wars.ich hoffe ich hab nich zulange damit gebraucht

Doch hast du wir sind schon bei den Grenzwerten Big Laugh

Big Laugh

Trotzdem danke, dann ist für ihn der gesamte Ablauf vllt noch ein bißchen durchsichtiger. Freude

Freude

EDIT: Übrigens: den Multiplikationspunkt erstellt man mit "\cdot", das wirkt gleich viel aufgeräumter Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2008, 20:24

Desecrator

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aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah ihr seid die besten *ggg*
Jetzt is mir so einiges klarer Augenzwinkern

Augenzwinkern

das soll aber jetzt nicht heißen, dass ich euch nicht noch öfter brauchen werde *g*

DANKÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ!!!!!!!!!!!!
jetzt kann ich wieder gut schlafen. ich glaub ich muss euch heute noch nen schrein basteln und euch anbeten!

27.01.2008, 20:27

Duedi

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Aber bitte guten Weihrauch aus Jemen nehmen (edit: für den Altar^^), nicht den Billigen aus Kirgistan. Danke. LOL Hammer

LOL Hammer

27.01.2008, 20:29

Desecrator

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du kannst mir ja auch deine kontonummer hinterlassen für ne kleine spende Augenzwinkern

Augenzwinkern

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