Riccati DGL

09.07.2005, 00:38

pantysniffer

Riccati DGL

Hi,

ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:

$\begin{eqnarray*} y'+x^2*(4x-3)y+x^2y^2=-4x^4+6x^3-2 \end{eqnarray*}$

und zwar bin ich mir nicht 100% sicher welcher Fall das ist, geschweige den was ich substituieren könnte um auf eine Bernoullische DGL zu kommen.

Die Fälle sind:

$\begin{eqnarray*} 1.) y'+(y-c)*(h(x)y+g(x))=0 \Rightarrow Y=C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2.) y'-c+(y-cx)(h(x)y+g(x))=0 \Rightarrow Y=Cx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3.) y'+\frac{a}{x}y+by^2= \frac{c}{x^2} \Rightarrow Y=\frac{k}{x} \end{eqnarray*}$

Ich vermute nach reichlich umstellerrei das es der 2.Fall ist. Allerdings find ich kein geeignetes (y-cx) was ich substituieren könnte. traurig

Schonmal thx im vorraus smile

09.07.2005, 01:03

JochenX

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argh lange her, ich erinner mich, dass man zum lösen von riccatidgln eine lösung erraten musste

ich glaube, hier ist y=2x eine gute wahl für eine spezielle lösung

09.07.2005, 01:24

pantysniffer

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ja das klingt gut. Nur halte ich -2x für besser. Ich habe das ganze ein bischen umgestellt, bekomme dann das hier:

$\begin{eqnarray*} y'-x^2y^2+2+(y+2x)*[2x^3-3x^2]=0 \end{eqnarray*}$

Daran macht mir das $\begin{eqnarray*} -x^2y^2 \end{eqnarray*}$ zu schaffen (vielleicht ist es einfach zu spät). Klingt vielleicht jetzt dumm, aber ich komm nicht drauf wie ich daraus ein form machen könnte die $\begin{eqnarray*} (y+2x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (y^2+4x^2) \end{eqnarray*}$ enthält.

09.07.2005, 11:40

Leopold

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Substituiere nach dem Riccati-Rezept:

$\begin{eqnarray*} u = y + 2x \, , \ \text{d.h.} \ y = u - 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = y' + 2 \, , \ \text{d.h.} \ y' = u' - 2 \end{eqnarray*}$

Du bekommst dann die folgende Bernoulli-Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} u' - 3x^2u + x^2u^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} v = \frac{1}{u} \, , \ \text{d.h.} \ u = \frac{1}{v} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = \frac{-u'}{u^2} \, , \ \text{d.h.} \ u' = -\frac{v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

kannst du diese dann in eine Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen überführen:

$\begin{eqnarray*} v' +(3v-1)x^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Als Lösung habe ich mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als der Integrationskonstanten

$\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{1-C\operatorname{e}^{-x^3}} - 2x \end{eqnarray*}$

10.07.2005, 13:33

pantysniffer

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So ich hab die Aufgabe jetzt endlich mal fertig gerechnet. Der Trick war am Anfang eine Polynom division mit (y+2x) zu machen.
Dann kam folgende gleichung dabei raus:

$\begin{eqnarray*} y'+2+(y+2x)(x^2y+2x^3-3x^2)=0 \end{eqnarray*}$

dann ist es wie es Leopold beschrieben hat. Allerdings ist das ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{3}+C e^{-x^3}} -2x \end{eqnarray*}$ Rock

mfg

10.07.2005, 13:53

etzwane

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Zitat:

Original von pantysniffer
Allerdings ist das ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{3}+C e^{-x^3}} -2x \end{eqnarray*}$ Rock

Die beiden Ergebnisse stimmen doch überein, oder siehst du das nicht ?

10.07.2005, 15:32

JochenX

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die C sind natürlich unterschiedlich

aber eigentlich stimmen sie nicht überein
leopold hat eine funktion y(x)=.... und bekommt volle punktzahl
pantysniffer hat nur einen term (kein y=....) und bekommt abzug

so einfach, so schön smile

10.07.2005, 20:32

pantysniffer

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JaJa, immer Mensch bleiben!!!

Ich hab es verraft, das die 3 aus dem 1/3 kommt. Die Argumentation das ich ein punkt abgezogen bekomme, halt ich für ein gerücht, da ich in einer Klausur so kleinigkeiten nicht vergessen würde.

Also hiermit entschuldige ich mich in aller Form bei allen Benutzern dieses Forums, die sich in irgendeiner Form beleidigt, diskriminiert oder sonst wie angegriffen fühlen. Gott

11.07.2005, 15:44

Leopold

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@ LOED

Manchmal, finde ich, übertreibst du. Sicher wäre es schöner gewesen, wenn pantysniffer $\begin{eqnarray*} y = \ldots \end{eqnarray*}$ geschrieben hätte. Auf der anderen Seite führen wir ja hier im Board ein Gespräch, wenn auch in schriftlicher Form. Und bei einem Gespräch schwingen manchmal Sachen mit, die man nicht ausdrücklich sagt. Und so fasse ich pantysniffers Lösung auf. Er erwähnt nur das, was für ihn von Interesse ist, nämlich die scheinbar andere rechte Seite der Funktionsgleichung. Was für ihn selbstverständlich ist (und was er hoffentlich in der Klausur auch schriftlich niederlegt), nämlich das $\begin{eqnarray*} y = \end{eqnarray*}$ , übergeht er. Die Maßregelung ist hier also überflüssig, zumal pantysniffer durch seine Beiträge zum Ausdruck gebracht hat, daß er versteht, worum es geht.

Und wenn wir schon einmal dabei sind: Hast du dir schon einmal Gedanken darüber gemacht, daß die ach so exakte Wissenschaft Mathematik gerade bei der Art, wie Funktionen notiert werden, äußerst impräzise ist? Die Analysis hat eigentlich überhaupt keine vernünftige Schreibweise von Funktionen. Wenn man z.B.

$\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{1 - C \operatorname{e}^{-x^3}} - 2x \end{eqnarray*}$

schreibt, notiert man ja keine Funktion, sondern eine Zwei-Variablen-Gleichung, mit der man eine Funktion festlegt. Trotzdem sagt man "die Funktion $\begin{eqnarray*} y = \ldots \end{eqnarray*}$ ". Und auch wenn man $\begin{eqnarray*} f(x) = \ldots \end{eqnarray*}$ schreibt, macht man die Sache keinen Deut besser. Und die Form $\begin{eqnarray*} y(x) = \ldots \end{eqnarray*}$ verschlimmert alles nur noch. Trotzdem ist sie bei Differentialgleichungen üblich, weil eben jeder, der sich in dem Themengebiet bewegt, weiß, wie sie in dem entsprechenden Kontext aufzufassen ist.
Eine korrekte Schreibweise für eine Funktion bietet der Churchsche Lambda-Kalkül. Aber der ist nur für die Grundlagenforschung, Logik und Informatik von Interesse und kann sich gegen das Althergebrachte in der Analysis nicht durchsetzen. Wahrscheinlich will er das auch gar nicht. Es reicht doch zu wissen, daß man auf die Churchsche Weise eine Funktion schon korrekt notieren könnte, wenn man es denn nur wollte. Eine Alternative zu Church wäre in Bourbaki-Manier die Mengenschreibweise. Dann müßte man sagen, daß die Riccati-Differentialgleichung durch die Funktion

$\begin{eqnarray*} f = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, y = -2x \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

und die Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_C = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \, (y+2x) \left( 1 - C \operatorname{e}^{-x^3} \right) = 3 \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelöst wird.

Ich hoffe, das war abschreckend genug. Ansonsten sollten wir mindestens so tolerant sein, wie die alte Tante Analysis selbst es ist.

11.07.2005, 17:40

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
so einfach, so schön smile

darum der ballonsmiley; hätte ich hier tatsächlich wie immer nur meckern wollen, hätte es den nicht gegeben

aber danke für deine ausführliche meinung, leopold, und schön, dass du mich abschrecken willst.....
aber wie ich auch schon einmal in einem anderen thread geschrieben habe, geht es mir (neben mathematischer korrektheit) auch darum, den fragestellern mögliche punktabzüge in klausuren zu ersparen.
[quote]da ich in einer Klausur so kleinigkeiten nicht vergessen würde[quote]
kann ich hellsehen?

wenn ich einem von 10 leuten mit meinen zurechtweisungen dazu verhelfe, in einer klausur nicht durch solche schusseligkeiten punkte zu verlieren, dann mache ich weiter so.
wer sich dadurch angegriffen fühlt, soll es wegen mir sein, da das gefühl zu unrecht ist, wiegt der eventuelle dank des einen schwerer.

mfg jochen (und wer mich für ein arschloch halten will, soll das tun - basta!)

Wink

11.07.2005, 20:29

pantysniffer

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Schon geil was alles aus einer Riccati DGL werden kann smile

Ich kann für meinen Teil nur sagen. Am Mittwoch schreibe ich wahrscheinlich die letzte reine Mathematik Klausur in meinem Leben(es sei den ich will die nächstes Jahr nochmal verbessern, wobei realistisch schon ne 2 drin ist smile

).

mfg

hier nochwas für alle die noch was zurechnen haben wollen Hammer

Angewandt Mathematik

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