Globale Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

09.07.2005, 10:29

Malcom

Globale Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Hallo,
ich habe ein Problem beim bestimmen von globalen Extrema bei einer Funktion mit mehreren Veränderlichen.
Die Funktion ist:
$\begin{eqnarray*} w(s,t)=180+5s^{2} + 10t-0.2s^{3} -0.3t^{2} \end{eqnarray*}$

Wir sollen die globalen Extrema für
$\begin{eqnarray*} s \in [-10,\infty ] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \in [-10,\infty ] \end{eqnarray*}$
suchen

Ich weiß, dass ich eine veränderliche immer festsetzen muss, also setze ich zuerst mal t=-10.
dann erhalte ich als Funktion:
f(s)=0.6t+890

muss ich von dieser Funktion dann die lok.(für den Rand der Funktion) und globalen (für die Ecken des ausgewählten Bereichs) Extrema bestimmen oder muss ich da anders vorgehen? (muss das ganze dann für alle 4 Ränder gemacht werden?

und noch eine Frage?
wenn s gegen unendlich geprüft wird, dann läuft die Funktion ja eigentlich gegen minus unendlich, dann ist das doch eigentlich das globale minimum oder?

Vielen Dank schonmal im vorraus

Gruß
Malcom

09.07.2005, 13:04

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Bestimme doch erst die Extrema für das vorgegebene Intervall und prüfe dann, ob sie lokal (realtiv) oder global (absolut) sind.

Erst dann musst du die Randextrema betrachten.

Weißt du, wie man die lokalen Extrema berechnet (Stichwort Hesse-Matrix) verwirrt

09.07.2005, 13:28

Malcom

Auf diesen Beitrag antworten »

die lokalen sind kein Problem die hab ich ja auch schon...nur sollen halt auch noch die globalen bestimmt werden..
Es gibt ein lok. Maximum bei (50/3,50/3)

deswegen macht es ja auch noch Sinn die globalen zu berechnen.

09.07.2005, 17:35

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

die lokalen sind kein Problem die hab ich ja auch schon...nur sollen halt auch noch die globalen bestimmt werden..

berechne die funktionswerte aller lokalen maxima und der randmaxima (evtl. als grenzwerte)
der größte funktionswert (falls existent und nicht nur im unendlichen) liefert dir das GLOBALE extremum

09.07.2005, 17:50

Malcom

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Globale Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen
das weiß ich auch das es so geht, aber ich habe oben die Frage gestellt WIE man die globalen maxima bestimmt, das ist mein Problem, ich weiß das ich die ränder betrachten muss, halt nur nicht wie das geht!

09.07.2005, 17:54

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Globale Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Zitat:

Ich weiß, dass ich eine veränderliche immer festsetzen muss, also setze ich zuerst mal t=-10.
dann erhalte ich als Funktion:
f(s)=0.6t+890

ich weiß nicht, woher du diese konstante funktion hast?

aebr an sich schon richtig: t=-10 einsetzen ergibt eine der seiten
maximum dieser "normal" wie im 2dimensionalen bestimmen (d.h. hier wiederum das globale maximum bestimmen aus lokalen extrema und evtl. randextrema)

oft kannst du hier aber (wegen unbeshränkten grenzen) schnell sehen, dass es keine globalen extrema geben kann, für s gegen unendlich geht das ganze z.b. gegen -unendlich, also kein globales minimum

09.07.2005, 18:06

iammrvip

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun lässt du die Variablen "laufen", und es ist:

mit festen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} x\to \infty: f(x,y) \to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\to -\infty: f(x,y) \to \infty \end{eqnarray*}$ und
mit festen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} y\to \infty: f(x,y) \to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\to -\infty: f(x,y) \to \infty \end{eqnarray*}$ , muss

an der gefundenen Stelle ein globales Minimum liegen.

Jedoch wollte ich noch sagen, dass ich zwei Lösungen erhalte:

Es ist doch

$\begin{eqnarray*} w(s,t) = 180 + 5s^2 + 10t - 0.2s^3 - 0.3t^2, \quad (s,t) \in [-10;\infty) \end{eqnarray*}$

Um die Extremstellen zu finden, musst du das GLS:

$\begin{eqnarray*} \nabla w(s,t) = 0 \end{eqnarray*}$

lösen, also

$\begin{eqnarray*} \nabla w(s,t) = \begin{pmatrix} 10s - 0.6s^2 \\ 10 - 0.6t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist auch

$\begin{eqnarray*} (s,t) = \left(0, \frac{50}{3}\right) \end{eqnarray*}$

eine Lösung des GLS.

09.07.2005, 18:25

Malcom

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (0,\frac{50}{3} ) \end{eqnarray*}$
ist doch nur ein Kandidat für mögliche Extrema, wenn ich den in die Hesse Matrix einsetze, erhalte ich einen negativen Wert, so dass es sich um einen Sattelpunkt handelt.

Zurück zum Problem der Randuntersuchung:
Ich nehme jetzt nur mal an, dass s=-10 ist , dann liegt t zwischen -10 und unendlich.

Wenn s=-10 ist ergibt sich doch die Funktion:

$\begin{eqnarray*} g(t)=880 + 10t -0,3t^{2} \end{eqnarray*}$

Und von der muss ich doch dann die lok. und globalen Extrema bestimmen.
also 1. Abl. gleich Null setzen mit 2. Abl. überprüfen.
und dann die glob. Extrema bestimmen (im Falle t gegen unendlich mit Grenzwert bestimmung)

dann habe ich von dem Rand die Extrema, falls die größer oder kleiner als meine bisherigen minima oder maxima sind, habe ich ein "neues" globales extrema

Was passiert denn, wenn ich bei einer Randuntersuchung als Wert unendlich rausbekomme, ist dann das Extrema bei (-10,unendlich)??

09.07.2005, 18:34

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

oft kannst du hier aber (wegen unbeshränkten grenzen) schnell sehen, dass es keine globalen extrema geben kann, für s gegen unendlich geht das ganze z.b. gegen -unendlich, also kein globales minimum

das habe ich doch eigentlich schon gesagt, wie du damit umgehst

09.07.2005, 18:55

Malcom

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich also bei einer untersuchung eines randes dieser nach nicht konvergiert, liegt auf dem rand kein höheres maximum bzw. niedrigeres minimum vor?

Neue Frage »

Antworten »

Globale Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Verwandte Themen