Konvergenz von Funktionsreihen

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09.07.2005, 12:57	dfg	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionsreihen Kurze Frage : Konvergiert jede absolut konvergente Funktionsreihe auch gleichmäßig? Schanke Dön
09.07.2005, 16:42	dfg	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es jemdand interessiert ich denke ich hab die Lösung gefunden: Sei $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ eine Folge von Funktionen mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f_n = f \end{eqnarray}$ auserdem konvergiere die Funktionsreihe absolut, d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\mid f_n \mid \end{eqnarray}$ konvergiert. Dann ist das Kriterium von Weierstraß schon mit der Abschätzung $\begin{eqnarray} \mid f_n \mid \leq \mid f_n \mid \end{eqnarray}$ erfüllt. Damit konvergiert die Reihe gleichmässig.
22.08.2005, 20:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben In einem anderen Thread sind wir ja zusammen auf das Problem gestoßen, deswegen roll ich den alten Thread nochmal auf. Also, dein Beweis sieht im Moment sehr komisch aus. Das $\begin{eqnarray} \|f_n\|\leq \|f_n\| \end{eqnarray}$ bringt ja gar nichts, weil eigentlich müsstest du es so schreiben: $\begin{eqnarray} \|f_n(x)\|\leq \|f_n(x)\| \end{eqnarray}$ . Du musst aber eine Zahlenreihe, d.h. keine Funktionenreihe, finden, die konvergent ist. Eine Möglichkeit wäre ja z.B. $\begin{eqnarray} \|f_n(x)\|\leq \\|f_n\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ . Aber die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\\|f_n\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ muss ja gar nicht konvergieren. Es kann noch viel schlimmer kommen, nämlich dass $\begin{eqnarray} \\|f_n\\|_{\infty}=+\infty \end{eqnarray}$ ist für fast alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und dann summierst du $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ -mal $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ auf. Siehe z.B. die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\qquad \forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Hier ist für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \\|f_n\\|_{\infty}=+\infty \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
22.08.2005, 21:03	dfgdfg	Auf diesen Beitrag antworten »
ist $\begin{eqnarray} \mid\mid f_n \mid\mid_{\infty} \end{eqnarray}$ das Maximum aller Funktionswerte? Wenn ja dann hab ich es verstanden.
22.08.2005, 21:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja. Nicht das Maximum, aber das Supremum. Das ist ein kleiner, aber feiner Unterschied. $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ kann ja als Funktionswert gar nicht angenommen werden. Aber $\begin{eqnarray} \\|f_n\\|_{\infty}=+\infty \end{eqnarray}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ beliebig groß wird. Gruß MSS
22.08.2005, 21:16	dfgdfg	Auf diesen Beitrag antworten »
also die kleinste obere schranke, ok danke für deine Hilfe.
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22.08.2005, 21:18	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau! Gruß MSS PS: Willst du dich nicht mal anmelden?
22.08.2005, 22:56	Trazom	Auf diesen Beitrag antworten »
und dir einen namen zulegen, der nicht nach rumkloppen auf der tastatur aussieht?
22.08.2005, 23:32	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo max auch ein supremum kann +unendlich nicht sein. in einem solchen fall würde man sagen, dass das die funktion kein supremum hat (und demzufolge auch kein maximum), sie "wächst über alle grenzen hinaus" da musst du etwas mit der formulierung aufpassen, aber vielleicht interpretiere ich eure aussagen auch falsch mfg jochen
22.08.2005, 23:39	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jochen. Ich denke, das ist je nach Definition anders. Man kann ja auch definieren, dass $\begin{eqnarray} \sup f(x)=+\infty \end{eqnarray}$ ist, falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ beliebig groß wird. Das nennt man dann übrigens auch uneigentliches Supremum. (Den Begriff habe ich aus einem Buch, wo es genau so definiert wird! ) Gruß MSS

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