Anwendungsaufgabe Schwarzfahrer

27.01.2008, 14:43

.seb.

Anwendungsaufgabe Schwarzfahrer

Hallo,

ich möchte eine kleine Komplexaufgabe zu Statistik lösen:

20 % der Fahrgäste sind Schwarzfahrer
Beschränkungen sind um 4 pro 100 Fahrgäste
Es werden 100 Personen zufällig ausgewählt und überprüft.

es sei: X = Anzahl der Schwarzfahrer unter den 100

1. Ist die Faustregel des Grenzwertsatzes erfüllt?
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 100 Überprüften höchstens 20, 10 bis 30 und mehr als 25 Schwarzfahrer unter den Fahrgästen sind.

2. Bestimmen Sie mit dem Grenzsatz ein symetrisch zu gelegendes möglichst kleines Intervall mit der Eigenschaft, dass X mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % im Intervall liegt.

1.

Also der Grenzwertsatz lautet wohl:

n = Stichprobenumfang; p=Wahrscheinlichkeit Schwarzfahrer

n*p*(1-p)>9

Nun es ergibt sich 100*0,2*0,8 = 16 > 9
Der Grenzwertsatz ist erfüllt.

Nun hab ich mir gedacht, dass ich mal die Poissonverteilung benutze. Das würde aber laut Aufgabenstellung bedeuten, dass ich jede Wahrscheinlich von X=1 bis X=20 ausrechnen und miteinander addieren müsste.
Also:
$\begin{eqnarray*} \alpha = n*p = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=20) =\frac{20^{20}*e^{-20}}{20!} = 0,088 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=19) = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X=0) = ... \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
P(X<=20) = 0,559 [55,9 %]

Weiterhin ergibt sich:

P(10<=X<=30) = 0,9815 [98 % (Zweifel, ob das richtig ist)]

P(X>25)=1 - P(X<=25) = 0,88 [88%]

Gibt es einen einfacheren Weg, gerade in Hinblick auf die weitere Aufgabenstellung?

2.

In der zweiten Aufgabe ist wohl nach dem Konfidenzintervall gefragt. Da müsste sich mit der Wahrscheinlichkeit 95 % ein Intervall von:

$\begin{eqnarray*} (p-\frac{1}{2n} - z*\sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} }; p ; p+\frac{1}{2n} +z*\sqrt{ \frac{p(1-p)}{n} }) \end{eqnarray*}$

mit z = za/2 = 0,075 (ca.)

Vermutung: 95 % meint das Niveau, und darauf ergibt sich die Wahrscheinlich p = 0,05. Damit hätte ich alle Suchgrößen. Ist das soweit auch richtig ?

Konfidenz-Intervall: (0,043; 0,056)

Ich hoffe, ihr könnt mir Hinweise geben.

MFG Sebastian

27.01.2008, 14:44

.seb.

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RE: Anwendungsaufgabe Schwarzfahrer
jo

28.01.2008, 20:43

bil

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RE: Anwendungsaufgabe Schwarzfahrer
hi...

Zitat:

Original von .seb.
Nun hab ich mir gedacht, dass ich mal die Poissonverteilung benutze

hier solltest du statt der poissonverteilung die binomialverteilung wählen. dein grenzwertsatz bezieht sich ja auch auf die binomialverteilung bzw. approximation der binomialverteilung. aber ausrechnen wird mit der binomialverteilung, sofern ihr kein programm oder guten tachenrechner besitzt, doch recht aufwendig werden. folglich solltest du, weil ja auch der grenzwertsatz erfüllt ist, die normalverteilung nehmen.

gruss bil

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