Notation einer Bilinearform

09.07.2005, 13:55

phi

Notation einer Bilinearform

Moin, moin,

Obwohl ich das ganze abstrakte drumherum der Bilinearformen, Grammatrix, Skalarprodukte & Orthogonalität ganz gut verstehe, scheitere ich im Moment daran mir ein konkretes Beispiel für eine ausgeartete Bilinearform zu konstruieren, bei dem ich z.B. die lineare Abhängigkeit der Zeilen der Grammatrix ablesen kann...

Fangen wir langsam an:

Sei B={ $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \end{eqnarray*}$ } eine Basis von V. Ferner sei A=( $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ) eine $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix mit Werten aus K. Wir definieren eine Abbildung < , > von $\begin{eqnarray*} V\times V \end{eqnarray*}$ in K dadurch, dass wir für Basisvektoren $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ definieren:

< $\begin{eqnarray*} v_i , v_j \end{eqnarray*}$ > := $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ .

Frage: Wie kann ich ein einfaches Beispiel konstruieren, bei dem der genaue Rechenweg von den $\begin{eqnarray*} v_i , v_j \end{eqnarray*}$ zu den Einträgen der Matrix A deutlich wird ? Hilfe

Dank & Gruß, phi

09.07.2005, 17:56

dfg

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Die Abbildung kannst du so konstruieren:

Sei $\begin{eqnarray*} f(v_i) = e_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_i,v_j> = (A*f(v_j)) * f(v_i) = (A*e_j) * e_i = a_{ij} \end{eqnarray*}$

09.07.2005, 19:33

phi

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Danke,

Die Sternchen müssten normale Multiplikation sein ?

Gruß, phi

09.07.2005, 20:42

Nullendomorphismus

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Du musst lediglich eine ausgeartete Bilinearform angeben??

Du hast ja schon selbst geschrieben, dass eine Bilinearform genau dann ausgeartet ist wenn der Rang der zugehörigen Gram-matrix kleiner n ist.

Eine Matrix anzugeben, die nicht den vollen Rang hat dürfte eigentlich kein Problem sein....

Zitat:

Frage: Wie kann ich ein einfaches Beispiel konstruieren, bei dem der genaue Rechenweg von den vi,vj zu den Einträgen der Matrix A deutlich wird ?

Also ich weiß jetzt nicht ob ich deine Frage ganz verstehe.

Ist $\begin{eqnarray*} <v_i,v_j> \end{eqnarray*}$ bekannt für alle möglichen Kombinationen, so kann man die jeweiligen Ergebnisse einfach in die Matrix eintragen.

Ist andersrum die Matrix bekannt, so betrachtet man einfach den Eintrag $\begin{eqnarray*} \alpha_{ij} \end{eqnarray*}$ um zu wissen was $\begin{eqnarray*} <v_i,v_j> \end{eqnarray*}$ ist.

Beispiel: Ist
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_1>=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_2>=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_2,v_1>=-3 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} <v_2,v_2>=13,65 \end{eqnarray*}$

So sieht die Gram-Matrix folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 13,65 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.07.2005, 23:22

phi

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Jetzt ist der Groschen gefallen, danke

Zitat:

Original von Nullendomorphismus
Ist $\begin{eqnarray*} <v_i,v_j> \end{eqnarray*}$ bekannt für alle möglichen Kombinationen, ...

Das " für alle möglichen ..." ist was mich verwirrt hat, und das i und j beide von 1 bis n gehen. Ohne Summenzeichen o.ä. sah das für mich wie festes i und j..

@dfg: Das $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ bzw. das $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ müsste doch besser vor der Matrix sein, damit man Zeile mal Spalte hat, weil Spalte mal Zeile geht ja nicht.

10.07.2005, 01:22

dfg_

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also mit $\begin{eqnarray*} (A*e_j)*e_i \end{eqnarray*}$ ist folgendes gemeint

$\begin{eqnarray*} (A*e_j) \end{eqnarray*}$ ist ganz normale matrizenmultiplikation, das ergebnis ist die j te spalte von a.

Das äussere Mal ist dann das skalarprodukt, so erhälst du die i te komponente.

12.07.2005, 00:13

phi

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Beispiel
Der Vollständigkeit halber & da konkrete Beispiele in Skripten, Büchern & Web Mangelware zu sein scheinen, stelle ich hier ein Beispiel für eine ausgeartete BLF vor, das ich mir zusammengezimmert habe:

Sei B={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} eine Basis des Vektorraums V und <,> eine Bilinearform die durch die Gram-Matrix A mit $\begin{eqnarray*} a_{ij}= <v_i,v_j> \end{eqnarray*}$ , und

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(bei der einem die lineare Abhängigkeit von A gradezu ins Auge sticht! Augenzwinkern

wir prüfen trotzdem genau nach: )

Wir betrachten alle Linearkombinationen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~k_i<v_i,v_j>=0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot<v_1,v_1> +(-1) \cdot<v_1,v_2> + 1 \cdot<v_1,v_3> = (-1)\cdot1 +(-1) \cdot2 + 1 \cdot3 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot<v_2,v_1> +(-1) \cdot<v_2,v_2> + 1 \cdot<v_2,v_3>= (-1)\cdot2 +(-1) \cdot4 + 1 \cdot6 = 0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} (-1)\cdot<v_3,v_1> +(-1) \cdot<v_3,v_2> + 1 \cdot<v_3,v_3>= (-1)\cdot3 +(-1) \cdot6 + 1 \cdot9 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun den Vektor $\begin{eqnarray*} x:= k_1v_1+k_2v_2+k_3v_3 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} x:=(-1)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ (-1)\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +1\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

Dann ist $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ein Vektor der zu allen Basisvektoren senkrecht steht, $\begin{eqnarray*} x\perp v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray*}$ und da alle Vektoren in V aus diesen zusammengesetzt sind, ist x zu allen v aus V senkrecht.

Probe: sei w=(5, -1, 2) ein willkürlich gewählter Vektor aus V. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} <x,w>=\sum_{i,j=1}^n~k_ih_ja_{ij} \end{eqnarray*}$
=(-5+1-2)+(-10+2-4)+(15-3+6)
=-6-12+18
=0 .
Der Vektor x der nicht der Nullvektor ist, steht tatsächlich zu jeden beliebigen Vektor aus V senkrecht, also ist <,> mit A eine ausgeartete BLF.

smile

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