Basis

10.07.2005, 01:47

Snooper

Basis

Hallo zusammen...

habe wieder mal ein Problem bezüglich einer Basis -Aufgabe.

Sei A:= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und f $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x \\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2z \\ x+2y+z\\ x+3z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:
1. Durch f wird eine lineare Abbildung f:R³-->R³ definiert:

Antwort:
f $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2z \\ x+2y+z \\ x+3z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
A:= {a1,a2,a3}

a1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , a2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,a3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

M(f)= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0& 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.Die Spalten von A bilden eine Basis des R³.

Antwort:
Man berechnet die Determinnate von A mit Sarrus Regel und wenn es ungleich null ist dann=>A ist eine Basis des R³......oder soll ich bei diesem Teil einfach eine Zeilenstufenform machen und die basis des Spaltenraums bestimmen.???

3. Berechnen Sie die Matrix M, die f bezüglich der Basis A beschreibt.

Frage:?soll ich da berechnen M_A(f)=A^-1*A * M(f) berechnen oder wie???

10.07.2005, 11:43

klarsoweit

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RE: Basis

Zitat:

Original von Snooper
2.Die Spalten von A bilden eine Basis des R³.

Antwort:
Man berechnet die Determinnate von A mit Sarrus Regel und wenn es ungleich null ist dann=>A ist eine Basis des R³......oder soll ich bei diesem Teil einfach eine Zeilenstufenform machen und die basis des Spaltenraums bestimmen.???

Um zu zeigen, daß die Spalten eine Basis bilden, reicht die Bestimmung der Determinanten.

Zitat:

Original von Snooper
3. Berechnen Sie die Matrix M, die f bezüglich der Basis A beschreibt.

Frage:?soll ich da berechnen M_A(f)=A^-1*A * M(f) berechnen oder wie???

Ich würde einfach die Bilder Basisvektoren von A berechnen und diese wieder in der Basis A darstellen. Die Koordinatenvektoren bilden die Spalten von M(f).

EDIT: obigen Satz korrigiert

10.07.2005, 20:09

Snooper

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RE: Basis
meinst du denn damit so ne art darstellungsmatrix berechnen?

wie schreibe ich die matrix A als lineare Abbildung

11.07.2005, 18:51

klarsoweit

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RE: Basis
Also nochmal: Du hast diese Basis:
a1= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , a2= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,a3= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt berechnest du f(a1) und stellst das Ergebnis in der Basis A dar. Den betreffenden Koordinatenvektor schreibst du in die 1. Spalte der Darstellungsmatrix M(f). Dasselbe machst du dann mit den anderen Basisvektoren.

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