Poissonverteilung

27.01.2008, 18:57

Daley

Poissonverteilung

Hallo. Ich habe ein paar Probleme mit der b Aufgabe

a)Es seien $\begin{eqnarray*} X_1 , X_2 \end{eqnarray*}$ unabhängige $\begin{eqnarray*} \pi(\lambda_1) bzw \pi(\lambda_2) \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsvariablen. Zeigen Sie daß $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 \end{eqnarray*}$ die Poissonverteilung \pi(\lambda_1+\lambda_2) hat.
Habe ich geschafft.

$\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 = k ) = e^{-(\lambda_1+\lambda_2)} \frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

b) Eine Kontrolleinheit verarbeitet Anfragen aus zwei Netzen. Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ bzw X $\begin{eqnarray*} _2 \end{eqnarray*}$ der Anfragen pro Stunde aus den Netzen seien unabhängige Zufallsvariablen mit den Verteilungen $\begin{eqnarray*} \pi(\lambda_1), \pi (\lambda_2) , \lambda_1, \lambda_2 > 0. \end{eqnarray*}$
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß insgesamt mehr als 2 Anfragen in einer Stunde zu bearbeiten sind, falls $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Berechnen muss ich ja

$\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 > 2) \end{eqnarray*}$

Ich dachte, ich machs mit dem Gegenereignis

$\begin{eqnarray*} = 1 - P(X_1+X_2 = 0) - P(X_1+X_2 = 1) \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur noch einsetzen. Aber ich komme nicht auf die Lösung von 0,875
Was ist $\begin{eqnarray*} P(X_1 + X_2 = k) \end{eqnarray*}$ ? Ich kanns nicht einsetzen verwirrt

Grüße
Daley

27.01.2008, 19:29

Daktari

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Der Gedanke mit der Gegenwahrscheinlichkeit ist gar nicht so schlecht
Allerdings gilt bei der Poisson-Verteilung $\begin{eqnarray*} P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2) \end{eqnarray*}$
Sagt dir Reproduktivität irgendwas ?

27.01.2008, 19:55

Daley

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Das P(X=2) hatte ich vergessen noch aufzuschreiben.

Reproduktivität? unglücklich

Soll das heißen, ich solls noch mal versuchen?

Für die Poissonverteilung gilt

$\begin{eqnarray*} P_\lambda (X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\; \mathrm{e}^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Ich muss mein Ergebnis aus a) verwenden statt der allgemeinen Poissonverteilung?

27.01.2008, 22:33

Daktari

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Zitat:

Original von Daley
Ich muss mein Ergebnis aus a) verwenden statt der allgemeinen Poissonverteilung?

Das was du in a) gezeigt hast ist die Reproduktivität Buschmann

Reproduktivität:
Die Summe von unabhängigen Poisson-verteilten Zufallsvariablen ist wieder Poisson-verteilt

Da $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ laut Aufgabe unabhängig sind, kann man die Reproduktivitätseigenschaft hier ausnutzen.
D.h. man "bastelt" sich hier erst mal eine neue Wahrscheinlichkeitsfunktion mit $\begin{eqnarray*} \lambda=\lambda_1+\lambda_2=2+3=5 \end{eqnarray*}$
Damit ergibt sich
$\begin{eqnarray*} P_\lambda (X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\; \mathrm{e}^{-\lambda} \end{eqnarray*}$
als
$\begin{eqnarray*} P_\lambda (X=k) = \frac{5^k}{k!}\; \mathrm{e}^{-5} \end{eqnarray*}$

Berechne nun $\begin{eqnarray*} 1 - P_\lambda (X=0) - P_\lambda (X=1) - P_\lambda (X=2) \end{eqnarray*}$ mit dieser Formel und nenn mir das Ergebnis.
Ist doch voll easy Tanzen

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