Eindimensionale Zufallsbewegung

10.07.2005, 15:36

Passepartout

Eindimensionale Zufallsbewegung

Hallo,

ich habe Probleme einen richtigen Ansatz für folgende Problemstellung zu finden:

Ein Teilchen bewegt sich in N Schritten (Länge im Intervall [l-b;l+b]) im eindimensionalem Raum. Wie weit ist es im mittel nach N Schritten?

Also, klar ist, dass für alle Verschiebungen die Wahrscheinlichkeit gleich ist, aber es fehlt mir nun der Ansatz, wie ich formelmäßig auf die Gesamtdistanz komme.

Anschließend kann ich ja den Mittelwert ermitteln, wenn ich $\begin{eqnarray*} \bar{n} = \sum\limits_{0}^{\infty}~P(n)\cdot n \end{eqnarray*}$ ansetze, aber dafür brauche ich die P-Funktion, und da haperts im Moment.

Für jeden Hinweis bin ich äußerst dankbar.

Gruß,
Michael

10.07.2005, 15:46

JochenX

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irgendwie verstehe ich deinen ansatz nicht ganz
wie soll deine summe aussehen? was läuft da von 0 bis unendlich und wieso? was ist n?

jeder schritt geht doch im mittel I weit
also ist es im mittel nach N schritten......

mfg jochen

ps: keine garantie

10.07.2005, 15:47

sqrt(2)

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Die Spanne, die die möglichen Längen umfasst beträgt $\begin{eqnarray*} l+b-(l-b)=2b \end{eqnarray*}$ . Wenn die möglichen Längen wirklich gleichverteilt sind, wie du sagst (das steht nicht in der Aufgabe...), wie lautet sie Verteilungsfunktion dann, wie die Dichtefunktion? (Eigentlich geht es auch viel einfacher, aber du willst ja diesen Weg.)

Da es sich um eine Stetige Zufallsgröße handelt, beträgt der Mittelwert übrigens wohl eher $\begin{eqnarray*} \bar{x}=\int_{l-b}^{l+b}~x\cdot P(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

10.07.2005, 16:00

Passepartout

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Zitat:

Original von sqrt(2)
Die Spanne, die die möglichen Längen umfasst beträgt $\begin{eqnarray*} l+b-(l-b)=2b \end{eqnarray*}$ . Wenn die möglichen Längen wirklich gleichverteilt sind, wie du sagst (das steht nicht in der Aufgabe...), wie lautet sie Verteilungsfunktion dann, wie die Dichtefunktion? (Eigentlich geht es auch viel einfacher, aber du willst ja diesen Weg.)

Da es sich um eine Stetige Zufallsgröße handelt, beträgt der Mittelwert übrigens wohl eher $\begin{eqnarray*} \bar{x}=\int_{l-b}^{l+b}~x\cdot P(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Ja, stimmt.

Die Aufgabe ist so gemeint, dass jeder Schritt gleichwahrscheinlich ist.

Wie komme ich nun aber auf P.
Allgemein gilt ja

$\begin{eqnarray*} P(x) = \frac{\text{Zahl der Elemente, die Eigenschaft x haben}}{\text{Gesamtzahl aller Elemente}} \end{eqnarray*}$

Wäre dann der Nenner sozusagen unser 2b? Was wäre dann der Zähler, da ja jeder Wert angenommen werden kann?

Kann auch sein, dass ich nur vollkommen verwirrt bin

Gruß,
Michael

10.07.2005, 16:15

sqrt(2)

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Hier geht es um eine stetige Zufallsgröße. Hast du davon schon etwas gehört?

10.07.2005, 16:15

JochenX

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achtung, hier wirst du dann auf wahrscheinlichkeit 0 kommen für jeden reellen zahlenschrit aus deinem intervall.
denn hier hast du (überabzählbar) unendlich viele ergebnisse, du kannst ihnen also keine wahrscheinlichkeit >0 zuordnen.

10.07.2005, 16:42

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Die Schrittweite beim n-ten Schritt sein $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ , folglich ist die erreichte Position nach n Schritten (bei Start im Nullpunkt) gleich

$\begin{eqnarray*} S_n = X_1+X_2+\ldots+X_n \end{eqnarray*}$

Bekannt ist die Verteilung der einzelnen Schrittweiten: $\begin{eqnarray*} X_k\sim\mathrm{Glm}[l-b,l+b] \end{eqnarray*}$ , woraus unmittelbar $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~X_k=l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{var}~X_k=\frac{b^2}{3} \end{eqnarray*}$ folgt.

Und was $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}~S_n \end{eqnarray*}$ betrifft: Der Erwartungswert ist ein lineares Funktional...

P.S.:

Zitat:

Original von sqrt(2)
wie lautet sie Verteilungsfunktion dann, wie die Dichtefunktion? (Eigentlich geht es auch viel einfacher, aber du willst ja diesen Weg.)

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Schrittweite ist kein Problem (s.o.). Aber gleiches für die Zielposition $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ aufstellen zu wollen, ist glatter Selbstmord!

10.07.2005, 16:46

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Verteilungsfunktion und Dichtefunktion der Schrittweite ist kein Problem (s.o.). Aber gleiches für die Zielposition $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ aufstellen zu wollen, ist glatter Selbstmord!

Es ging um die Berechnung des Erwartungswertes eines $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ mit Hilfe einer ähnlichen Formel, wie Passepartout sie im Ursprungsposting angeführt hat. Das was du als "unmittelbar folgend" anführst (was ja auch so ist), war Passepartout so anscheinend nicht klar.

10.07.2005, 16:50

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Naja, die Gleichverteilung mit ihren Parametern ist ja hinreichend tabelliert - das muss man ja nicht jedesmal von neuem mit der allgemeinen Formel berechnen. Und wenn sich jemand wie hier mit zufälligen Irrfahrten befasst, sollte er die Gleichverteilung nicht zum ersten Mal gesehen haben.

10.07.2005, 17:15

Passepartout

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Hallo ihr alle!

Habt vielen Dank für Eure Antworten. Denke, dass ich doch wohl nicht die mathematischen Kenntnisse habe um das Problem mit meinem Ansatz sinnvoll zu lösen verwirrt

Liegt einfach daran, dass ich immer nicht genau weiß, wie weit der Professor die intuitiven Lösungen akzeptiert Augenzwinkern

Kann man denn anschaulich argumentieren, dass ein Schritt im Mittel genau l lang sein muss, weil dort sozusagen die Verteilung P (die ja gegen die Schrittweite aufgetragen ein Rechteck ist) halbiert wird (weil dort sozusagen die Mitte ist Augenzwinkern

)

Liebe Grüße,

Michael

P.S.: Ehrlich gesagt ist mir die Gleichverteilung überhaupt kein Begriff traurig

Dachte nur, wie gesagt, man könnte ja mal schaun, ob man das mit dem bisherigen Wissensstand lösen könnte, ist wohl aber nicht der Fall Augenzwinkern

10.07.2005, 18:38

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Zitat:

Original von Passepartout
Kann man denn anschaulich argumentieren, dass ein Schritt im Mittel genau l lang sein muss, weil dort sozusagen die Verteilung P (die ja gegen die Schrittweite aufgetragen ein Rechteck ist) halbiert wird (weil dort sozusagen die Mitte ist

Ohne diesmal allzu mathematisch zu werden: Ja - für symmetrische Verteilungen wie die Gleichverteilung trifft deine Aussage zu.

10.07.2005, 20:08

Passepartout

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Guddi, danke smile

Nur eine kleine Frage hätte ich dann noch.
Wie kann ich da denn nun das Schwankungsquadrat berechnen.
Wenn P(x) da ist, wär das einfach, nun laufe ich aber auf.

Normalerweise würde ich wie folgt rangehen:

$\begin{eqnarray*} \overline{(n-\bar{n}^2)} = \int\limits_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}~(n-\bar{n}^2)~P(n)~dn \end{eqnarray*}$

Aber das funktioniert ja nun logischerweise nicht so richtig.
Für einen letzten kleinen Hinweis wäre ich noch einmal dankbar.

Gruß,
Michael

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