Grenzwert

10.07.2005, 19:56

abc

Grenzwert

Kann mir jemand bei folgenden Differenzenquotionten helfen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} {sin({\pi \over 2}+x)-1 \over x} \end{eqnarray*}$

10.07.2005, 19:58

sqrt(2)

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Sagt dir die Regel von L'Hospital was?

10.07.2005, 20:02

brunsi

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nachzuschauen auch bei wikipedia.de

10.07.2005, 20:13

abc

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Hm ich glaub nicht das ich die anwenden darf, gehts noch irgendwie anders?

10.07.2005, 20:27

gargyl

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Warum glaubst du das L'Hospital nicht geht ?

10.07.2005, 20:39

abc

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Darum gehts nicht, funktionieren tut es das ist klar.
Ich weiss nur nicht ob ich den Satz für die Aufgabe benutzen darf.

Ein Beispiel so einen Grenzwert anders zu bestimmen ist dieser hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} {sin(x) \over x} \end{eqnarray*}$

da kann man mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} sin(x) \le x \le tan(x) \end{eqnarray*}$
den Grenzwert auch ohne L'Hopital bestimmen.

Aber hier scheint es wohl zu schwierig es anders zu lösen.

10.07.2005, 21:12

sqrt(2)

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Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \cos (x) - 1 \leq x \leq \tan x \end{eqnarray*}$ gilt auch für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

10.07.2005, 21:32

dfg

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} 1-cos(x) \le x \le tan(x) \end{eqnarray*}$

10.07.2005, 21:43

Poff

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eine Möglichkeit,

cos(x) = 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6! + ...

(cos(x)-1)/x = -x/2!+x^3/4!-x^5/6!+ ...

ergibt Null für x=0

10.07.2005, 21:49

sqrt(2)

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Zitat:

Original von dfg
Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} 1-cos(x) \le x \le tan(x) \end{eqnarray*}$

Nein, wieso?

10.07.2005, 21:51

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@Poff

Es geht hier um einen Differenzenquotienten, der zur Sinus- bzw. Kosinusableitung führen soll - da wird die Taylorreihe ja wohl kaum schon bekannt sein. Das wäre der fünfte Schritt vor dem ersten...

@abc

Wenn du $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq |x| \end{eqnarray*}$ verwenden darfst, dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)=1-\sin^2(x)\geq 1-x^2 \end{eqnarray*}$ und weiter dann für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1\geq \cos(x)\geq \sqrt{1-x^2}\geq 1-x^2 \end{eqnarray*}$ .

Damit sowie mit $\begin{eqnarray*} \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos(x) \end{eqnarray*}$ kannst du dann deinen Grenzwert durch "Einschachtelung" berechnen.

10.07.2005, 22:09

abc

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Genau das hab ich gesucht smile

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \mid cos(x)\mid \leq 1-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \mid cos(x)\mid -1\leq -x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq {{\mid cos(x)\mid -1} \over x} \leq -x \end{eqnarray*}$

und für x gegen 0

$\begin{eqnarray*} 0 \leq {{\mid cos(x)\mid -1} \over x} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Danke an alle.

10.07.2005, 22:15

simonko_

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wenn man das mit den summensätzen ausmultipliziert bleibt:

(sin 90 * cos x + sin x * cos 90 -1) / x

(cos x - 1) / x // mit (cos x + 1) erweitern

(cos² x - 1) / (x*cos x + 1)

einsetzen

1-1 / 0*1+1

0 / 1

= 0

10.07.2005, 22:17

simonko_

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1-1 / 0*1+0

0 / 0

= 0

sorry

aber 0/= ist ein undef. ausdruck. darf man das so stehen lassen?

10.07.2005, 22:21

abc

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$\begin{eqnarray*} 0 \over 0 \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert *g

sonst hätt ich ja gleich bei $\begin{eqnarray*} {cos(x)-1} \over x \end{eqnarray*}$ einsetzten können

10.07.2005, 22:29

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Zitat:

Original von abc
Genau das hab ich gesucht

War mir klar. Augenzwinkern

Aber deine Relationszeichen solltest du nochmal korrigieren:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \cos(x) \geq 1-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \geq cos(x)-1 \geq -x^2 \end{eqnarray*}$

Für x>0 bedeutet das: $\begin{eqnarray*} 0 \geq \frac{\cos(x)-1}{x} \geq -x \end{eqnarray*}$

Für x<0 bedeutet das: $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{\cos(x)-1}{x} \leq -x \end{eqnarray*}$

Dann erst kannst du den Grenzübergang durchführen!

10.07.2005, 22:34

abs

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stimmt

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