Laplacesches Ereignisfeld

10.07.2005, 20:21

abi2006s

Laplacesches Ereignisfeld

Ich soll beweisen, dass bei einem laplaceschen Ereignisfeld gilt:

wenn
P(A)= 1- P(B)
und die Schnittmende von A und B ist leer

dann ist B= $\begin{eqnarray*} \frac{}{A} \end{eqnarray*}$

??

10.07.2005, 22:19

JochenX

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9 googletreffer

vielleicht sagst du uns mal, was ein "Laplacesches Ereignisfeld" ist

mfg jochen

10.07.2005, 22:49

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Interessanterweise kann man ohne die Voraussetzung des Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraums nur

$\begin{eqnarray*} P\left(A\,\Delta\,B\right)=1 \end{eqnarray*}$

( $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ ... symmetrische Differenz) nachweisen, was zwar notwendig aus $\begin{eqnarray*} B=\overline{A} \end{eqnarray*}$ folgt, aber i.a. nicht hinreichend dafür ist. Erst durch die Voraussetzung des Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraums wird es dann auch hinreichend.

EDIT: Fehler korrigiert! Hammer

11.07.2005, 16:39

abi2006s

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"...bei einem Laplaceschen Ereignisfeld..."

so steht es in meiner Aufgabenbeschreibung

11.07.2005, 16:43

abi2006s

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lt. meinen Unterlagen ist:

P( $\begin{eqnarray*} \frac{}{B} \end{eqnarray*}$ ) = 1-P(A)

was lt. Aufgabenstellung bedeuten würde:

P( $\begin{eqnarray*} \frac{}{B} \end{eqnarray*}$ = P (A)

da P (A)= 1-P(B)

11.07.2005, 16:50

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Momentan stocherst du nur im Nebel rum... Also immer der Reihe nach:

Weißt du, was ein Laplacesches Ereignisfeld (oder wie ich es bezeichnet habe: Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum) ist?

11.07.2005, 20:02

abi2006s

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das ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, so dass bei n-Versuchen jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/n hat.

11.07.2005, 20:19

JochenX

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ja, so in etwa

damit sollte sich doch schon was machen lassen
es gibt also n elementarereignisse, jedes hat die wahrscheinlichkeit 1/n
es gilt also: P(A)=m/n, wobei m die anzahl der elementareregnisse ist, aus denen A besteht

einig soweit?

ähnliches gilt für B

es gilt dann: P(A)+P(B)=1=n/n, daraus folgt dann.....
und dann folgt, wegen der unvereinbarkeit von A und B......

edit: @arthur: reicht hier eigentlich nicht allein die aussage, dass jedes elementarereignis eine wahrsheinlichkeit >0 hat und es nur endlich viele solcher ereignisse gibt?

11.07.2005, 20:28

abi2006s

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ja,

P(A)= 1- P(B)
P (B)= 1- P(A)

11.07.2005, 20:31

JochenX

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Zitat:

Original von abi2006s
ja,

P(A)= 1- P(B)
P (B)= 1- P(A)

das ist eine schöne umformung der gegebenen aussage
aber was folgerst du daraus?

am ende willst du B=A(quer) zeigen......

11.07.2005, 20:34

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Zitat:

Original von LOED
reicht hier eigentlich nicht allein die aussage, dass jedes elementarereignis eine wahrsheinlichkeit >0 hat und es nur endlich viele solcher ereignisse gibt?

In der Tat, das reicht. Aber im Laplacefeld lässt sich das bequemer schreiben, da man die Wahrscheinlichkeiten direkt proportional in Mengenmächtigkeiten überführen kann.

11.07.2005, 20:52

abi2006s

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Im Laplacefeld gilt ja u.a.

$\begin{eqnarray*} 0\leq P(A)\geq 1 \end{eqnarray*}$

also eine endliche Menge, die nicht über 1 hinausgeht,
so dass mit den Bedingungen in der Aufgabe und
P(B)=1-P(A)
folgt: B= A(quer)

??

11.07.2005, 20:54

therisen

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Zitat:

Original von abi2006s
Im Laplacefeld gilt ja u.a.

$\begin{eqnarray*} 0\leq P(A)\geq 1 \end{eqnarray*}$

Wohl eher: $\begin{eqnarray*} 0\leq P(A)\leq 1 \end{eqnarray*}$

11.07.2005, 20:55

JochenX

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hallo abi2006
das eine ungleichheitszeichen ist natürlich falschrum ("<=1")

Zitat:

so dass mit den Bedingungen in der Aufgabe und
P(B)=1-P(A)
folgt: B= A(quer)

genau das sollst du ja zeigen!!

hmmm, wollte das gerade mal für beliebige wräume mit obigen bedingungen zeigen

am leichtesten gehts ja über die disjunkte zerlegung:
$\begin{eqnarray*} \Omega =A \cup B \cup ( \Omega \setminus (A \cup B)) \end{eqnarray*}$
und dann ist relativ über die summation der wahrscheinlichkeit disjunkter ereignisse $\begin{eqnarray*} P(\Omega \setminus (A \cup B))=0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen und somit dank P(x)>0 für alle elementarereignisse x $\begin{eqnarray*} \Omega \setminus (A \cup B)=\{ \} \end{eqnarray*}$ .
der rest ist relativ leicht.

11.07.2005, 21:12

abi2006s

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Danke, ok.

hmm, nun soll ich nur noch ein "Gegenbeispiel" nennen, ein Beispiel für eine geometrische Wahrscheinlichkeit bei der diese Behauptung nicht zutrifft.

11.07.2005, 21:16

JochenX

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was ist denn nun schon wieder "geometrische Wahrscheinlichkeit"?

ist denn der rest gelöst? wenn ja, poste doch mal deine lösung
und nur als hinweis: mit einem laplaceergebnis lässt es sich tatsächlich schneller (zumindest einfacher) zeigen, als mit meinem ansatz oben.
den wollte ich nur mal der vollständigkeit halber einreichen (und um zu sehen, ob ichs noch kann).

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