reguläre Matrix - AA^T sym? pos-def?

11.07.2005, 00:22	rscharrer	Auf diesen Beitrag antworten »
reguläre Matrix - AA^T sym? pos-def? Hallo. Vielleicht kommt ja einer drauf - ich habs nach tagelangem Grübeln fast schon aufgegeben. Sei A regulär, so ist AA^T symmetrisch und pos-definit? Vielen Dank im voraus. ICh bin mit meinem Latein da am Ende.
11.07.2005, 00:25	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du schon so lange daran knobelst, dann hast du sicher schon ideen gehabt. die kannst uns ja erstmal verraten. also die positive definitheit ist z.b. relativ einfach, glaube ich.
11.07.2005, 06:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und die Symmetrie von $\begin{eqnarray} S=AA^T \end{eqnarray}$ ist noch einfacher. Du mußt ja nur $\begin{eqnarray} S^T = S \end{eqnarray}$ zeigen. Beachte, wie sich die Matrizenmultiplikation mit dem Transponieren verträgt. Für die positive Definitheit mußt du $\begin{eqnarray} x^TSx > 0 \end{eqnarray}$ für jede vom Nullvektor verschiedene Spalte $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nachweisen. Hier kannst du den Zusammenhang $\begin{eqnarray} u^Tv = \left\langle u,v \right\rangle \end{eqnarray}$ zwischen Matrizenmultiplikation und Standardskalarprodukt (spitze Klammern) verwenden. Die Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ wird dabei benötigt, um von $\begin{eqnarray} A^Tx = 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ schließen zu können.

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