Komplexe Matrizten

11.07.2005, 17:53

Masterchriss

Komplexe Matrizten

Hi alle zusammen, hab leider ein kleines Problem. Am Donnerstag schreib ich E-Technik. Jetzt hat unser Prof gemeint wir sollten uns auf jedenfall mal Komplexe Matritzen angucken um diese dann auch lösen zu können. Leider steht in meinem Mathe buch wenig brauchbares dazu drinnen.Hab auch leider kein Beispiel anhand dessen ich mir sowas erklären könnte.
Darum meine Frage: Kann ich beim lösen von komplexen Matrizen genauso vorgehen wie beim Lösen von normalen Matrizen? Nur das ich dann halt mit Komplexen Zahlen rechne? Oder muß mann da noch was besonderes beachten? Normale 3x3 matrizen habe ich immer über die Determinanten gelößt. also erstmal mit dem einsetzungsverfahren und der Cramerschen Regel die det. und die hilfs det erechnet. Dann halt
$\begin{eqnarray*} x_{i} = \frac{D_{i}}{D} \end{eqnarray*}$ Gerechnet.
Funktioniert das auch bei Komplexen Matrizen???

Hat vieleicht irgendeiner ein paar Beispiele mit richtigen Lösungen an denen ich üben könnte Komplexe 3x3 Matrizen zu lösen?

Vielen Dank und Gruß Chris

11.07.2005, 17:56

JochenX

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inwiefern willst du matrizen "lösen"? matrizen kann man doch nicht lösen.....
was willst du mit denen machen?

verwirrt

11.07.2005, 18:28

Leopold

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RE: Komplexe Matrizten

Zitat:

Original von Masterchriss
Kann ich beim lösen von komplexen Matrizen genauso vorgehen wie beim Lösen von normalen Matrizen?

Mit normalen Matrizen meinst du vermutlich reelle Matrizen.
Die schlichte Antwort auf deine Frage ist: Ja. Wenn du Gleichungssysteme mit komplexen Koeffizienten nach der Cramerschen Regel lösen willst, kannst du das ganz genauso wie im Reellen machen. (Hintergrund: $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist ein Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

11.07.2005, 18:54

Masterchriss

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Zitat:

inwiefern willst du matrizen "lösen"? matrizen kann man doch nicht lösen.....

Ich meinte sowas hier:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -0,5 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} I_1=8, I_2=6, I_3=4 \end{eqnarray*}$

Sorry wenn ich mich irgendwie missverständlich ausgedrückt habe.

Zitat:

Mit normalen Matrizen meinst du vermutlich reelle Matrizen.

Genau!

Zitat:

Die schlichte Antwort auf deine Frage ist: Ja. Wenn du Gleichungssysteme mit komplexen Koeffizienten nach der Cramerschen Regel lösen willst, kannst du das ganz genauso wie im Reellen machen

Das hört sich ja schon mal gut an. Hat den vieleicht irgendwer noch beispiele? Würde nur sehr ungerne in der Klausur zum ersten mal versuchen so etwas rechnen. Oder nen brauchbaren link?

Gruß Chris

11.07.2005, 19:11

Leopold

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Stell dir doch selber Beispiele und mache mit den Lösungen die Probe. Oder umgekehrt: Gib dir die Lösungen vor und erstelle ein Gleichungssystem dazu. Das löst du dann und schaust, ob du auf die vorgegebenen Lösungen kommst.

Nehmen wir zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \, , \ x_2 = \operatorname{i} \, , \ x_3 = 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

als vorgegebene Lösung. Und jetzt erfinden wir einfach eine Gleichung dazu. Die linke Seite:

$\begin{eqnarray*} 4x_1 + (2 - \operatorname{i}) x_2 - \operatorname{i} x_3 \end{eqnarray*}$
(die Koeffizienten sind frei erfunden)

Und jetzt setzen wir in diesen Term die vorgegebenen Werte ein. Wir erhalten die rechte Seite $\begin{eqnarray*} 10 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 4x_1 + (2 - \operatorname{i}) x_2 - \operatorname{i} x_3 = 10 + \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Und mit denselben Lösungen erstellst du jetzt zwei weitere Gleichungen. Dann löst du das 3×3-System.

12.07.2005, 14:54

Masterchriss

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Zitat:

Stell dir doch selber Beispiele und mache mit den Lösungen die Probe

Jop das war echt ne gute idee, hätte ich eigentlich auch selber draufkommen können....

Naja, mir ist aufgefallen das das ja doch ein recht hoher rechenaufwand ist. Jetzt hab ich mich gefragt ob es nicht vieleicht möglich wäre die Matrix irgendwie in einen Real teil und einen Imaginär teil zu Splitten. So das man nachher quasie 2 Matrizen besitzt. Weil dann könnte mein Taschenrechner sowas eventuell wieder rechnen...

Also bitte nicht schlagen wenn ich hier totalen quatsch geschrieben habe is halt nur so ne idee von mir gewesen.

Oder gibt es sonst noch möglichkeiten so etwas bequem mim Rechner zu rechnen?

Vielen Dank und Gruß, Chris

12.07.2005, 17:50

zappelfry

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mit rechnern, die matrizenrechnung und die komplexe rechnung beherrschen, sollte das kein problem sein...
welchen rechner hast du denn?

du kannst es auch mit mathcad oder ähnlichen PC-programmen lösen

12.07.2005, 18:17

phi

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Zitat:

Original von Masterchriss
Jetzt hab ich mich gefragt ob es nicht vieleicht möglich wäre die Matrix irgendwie in einen Real teil und einen Imaginär teil zu Splitten. So das man nachher quasie 2 Matrizen besitzt.

Ja, das kann man durchaus machen. Gute Idee wenn man die Übersicht behalten möchte.

...und da man seinen PC nicht mit zur Klausur mitbringen darf, eine gute Fingerübung.

12.07.2005, 18:28

Masterchriss

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Zitat:

welchen rechner hast du denn?

Ich besitze nen TI 84. Kann leider keine Komolexen Matrizen lösen...
zumindest hab ich noch nicht rausbekommen wie!

Zitat:

und da man seinen PC nicht mit zur Klausur mitbringen darf, eine gute Fingerübung

Was meinst du damit? Ich hate mir das so gedacht, das ich die Matrize in realteil und imaginärteil aufteile und dann quasie zwei getrente Matritzen in meinen Rechner eingebe!
Oder meinst du das das im endefekt noch aufwendiger ist? In der Klausur geht es halt darum so etwas so schnell wie möglich zu berechnen!

Ich bin jetzt noch nicht dazugekommen das mal auszuprobieren...

Wie trenn ich die den dann?

Gruß

12.07.2005, 18:45

phi

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Sorry, war wohl unverständlich, bezog sich auf:

Zitat:

Original von zappelfry
du kannst es auch mit mathcad oder ähnlichen PC-programmen lösen

Die Trennung folgt ganz einfach aus der Komponentenweise erklärten Matrixaddition:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (1+i) & i \\ 3.4 & (2-3i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3.4 & 2 \end {pmatrix}+ \begin{pmatrix} i & i \\ 0 & -3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: Das ich es für eine gute Idee halte, hab ich bereits gesagt. Freude

12.07.2005, 19:47

Masterchriss

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Hmmm, also irgendwie, entweder das funktioniert nicht so wie ich mir das vorgestellt habe, oder ich weiß auch nicht...

Ich schreib ma auf wie ich das vor hatte.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (1+j) & j \\ 4 & (2-j3) \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2+j \\ 13+j6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung wäre eigentlich $\begin{eqnarray*} x1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2=j3 \end{eqnarray*}$

so, wenn ich die jetzt splite dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} Re= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & 13 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} Im=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, die lösungen dafür passen aber nicht zu meinen richtigen lösungen.

Nämlich für realteil $\begin{eqnarray*} x1=-2 , x2=10,5 \end{eqnarray*}$

und für imaginärteil $\begin{eqnarray*} x1=j3, x2=-j2 \end{eqnarray*}$

Wo liegt der Fehler? Oder haben wir aneinander vorbeigesprochen??

Gruß Chris

12.07.2005, 20:18

phi

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Statt

$\begin{eqnarray*} Im=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf jeden Fall

$\begin{eqnarray*} Im=\begin{pmatrix} j & j & j \\ 0 & -3j & 6j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehmen, weil beim multiplizieren und dividieren kommt was ganz anderes raus wenn man 1 mal 1 statt j mal j rechnet.

Mir sind aber wegen dem Dividieren bei Cramer´s Regel auch bedenken gekommen, ob man´s so machen darf, weil dabei ja immer beide Komponenten beteiligt sind . Ich probier´s gleich selber nochmal aus.. verwirrt

12.07.2005, 21:46

phi

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Hurra!

Es geht doch! Und es ist wirklich eine echte Arbeitserleichterung... Beim konstrieren eines Beispiels ohne Splitten, hat sich sofort ein Rechenfehler eingeschlichen, den ich erstmal finden musste. Dann als ich das korrigiert hatte, hab ich´s aufgesplittet & Bingo! in 4 Minuten (2x2-Matrix) hatte ich das richtige Ergebnis...

Aber wie gesagt, du musst die j´s im Imaginärteil reinschreiben & mit ihnen rechnen.

Ein Trick den ich mir merken werde.

smile

Edit: Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} (1+j) & 2 \\ 4 & j \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3+7j \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=2j \end{eqnarray*}$ als Lösungen.

det A= -9 + j .

b einsetzen:

$\begin{eqnarray*} detA_1=\begin{vmatrix} (3+7j) & 2 \\ 10 & j \end{vmatrix} =-27 + 3j \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} detA_2=\begin{vmatrix} (1+j) & (3+7j) \\ 4 & 10 \end{vmatrix} = -2 - 18j \end{eqnarray*}$

Cramer ergibt
$\begin{eqnarray*} x_1=\frac{det A_1}{det A}=3 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x_2=\frac{det A_2}{det A}=2j \end{eqnarray*}$ . Soweit zum 'normalen' Verfahren.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt mit 'Aufsplitten':

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} (1+j) & 2 \\ 4 & j \end{pmatrix}= R+J =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} j & 0 \\ 0 & j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} r_1=3, r_2=0, j_1=0, j_2=2i \end{eqnarray*}$ ergibt die b-werte: $\begin{eqnarray*} b_{r1}= 3,b_{r2}=12,b_{j1}=0,b_{j2}=-2 \end{eqnarray*}$ .

Es ist det R= -8 und det J = -1

Die b´s einsetzen:

$\begin{eqnarray*} detR_1=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 12 & 0 \end{vmatrix}=-24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} detR_2=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 12 \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} detJ_1=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -2 & j \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} detJ_2=\begin{vmatrix} j & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} =-2j \end{eqnarray*}$

Und damit ergibt sich mit Cramer tatsächlich

$\begin{eqnarray*} r_1=\frac{det R_1}{det R}=3 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} r_2=\frac{det R_2}{det R}=0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} j_1=\frac{det J_1}{det J}=0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} j_2=\frac{det J_2}{det J}=2j \end{eqnarray*}$ und schließlich

$\begin{eqnarray*} x_1=r_1+j_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r_2+j_2 \end{eqnarray*}$

Tanzen

12.07.2005, 23:30

Masterchriss

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Zwar hab ich mir das etwas anders vorgestellt, aber ist ja schön das es trotzdem klapt. Nur ne wirkliche zeiersparnis hat man dabei jetzt nicht unbedingt.

Naja, aufjeden fall vielen dank für deine Hilfreiche unterstützung.

Aber einen punkt hab ich immernoch den ich nicht so richtig verstehe.

Wie kommst du auf Br1/ Br2 und Brj1/Brj2

Kann ich irgendwie gerade nicht so richtig nachvollziehen.... ? verwirrt

naja, Ich werd jetzt erstmal drüber schlafen.

Gute Nacht... und nochmal vielen Dank...

Gruß Chris

12.07.2005, 23:45

phi

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Ah, jetzt verstehe ich; du dachtest man käme ganz ohne das Rechnen mit komplexen Zahlen davon. Nein, das nicht, aber probier´s mal, es ist wirklich eine Zeitersparnis.

1) weil man nur noch einmal ´ne komplexe Division durchführen muss,
2) weil man bei den Subdeterminanten viele Nullen dabei hat, und
3) weil keine Klammerausdrücke a lá (a+jb)(c+jd) bei der Determinantenberechnung ausmultiplizieren muss. (Unter Zeitdruck sehr Fehleranfällig) und damit
4) weniger lästige Fehlersuchen.

Es ist z.B. $\begin{eqnarray*} b_{r1}=1 \cdot r_1+ 2 \cdot r_2 =3 \end{eqnarray*}$ . Wobei 1 der 1. Eintrag in der 1. Zeile ist, 2 der 2. in der 1. Zeile der Real-Matrix R ist und r_1=3 (der Realanteil von x_1) und r_2=0 (der Realanteil von x_2 ) natürlich normalerweise unbekannt sind & gesucht werden . Aber damit´s passt beim Beispiel konstruieren, hab ich das so wie Leopold es gesagt hat willkürlich festgelegt.

Gute Nacht.

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