affine/lineare Abbildungen

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n! Auf diesen Beitrag antworten »
affine/lineare Abbildungen
Hallo

also vorab: Wir haben in der Schule keine Linearen Abbildungen gemacht und werden es auch nicht mehr machen.Da ich allerdings in dieses Thema mal reingeschnuppert habe und nun auch in einem Mathe Schulbuch eine Definition sehe,habe ich das Problem,das ich zwei (wahrscheinlich) komplett verschiedene Definitionen vor mir habe.

Schulbuch sagt:

Eine Zuordnung wird als lineare Abbildung bezeichnet,wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

(1) Sie ordnet jedem Punkt P des Raumes einen Punkt P' des Raumes zu.

(2) Es gibt eine m x n Matrix A, sodass für die Ortsvektoren von P und von P' die Gleichung gilt. A wird als Abbildungsmatrix der linearen Abbildung f bezeichnet.

So,alles schön und gut.Das haben die mit vielen Beispielen gezeigt.

Aber die übliche Definition von linearen Abbildungen lautet doch:

Eine Abbildung heißt linear, wenn sie additiv und homogen ist.Das heißt sie genügt folgenden Gleichungen:





Tja,und jetzt stehe ich da mit zwei verschiedenen Definitionen.Nun habe ich aber gehört,dass die "Schuldefinition" die Definition für affine Abbildungen sei.Wenn dem so ist: Was ist der Unterschied zweischen affinen und linearen Abbildungen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(1) ist eine Konkretisierung von (2) auf den Spezialfall des bzw. in eher geometrischer Deutung. Beide Definitionen definieren die lineare Abbildung korrekt. Von einer affinen Abbildung spricht man dagegen, wenn zusätzlich noch Verschiebungen erlaubt sind:

n! Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold

danke für deine Hilfe.kann man also sagen bei v=0 folgt stets aus einer affinen Abbildung eine lineare Abbildung?

Wäre eine zentrische Streckung denn eine affine Abbildung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Lineare Abbildungen sind affine mit , ja. Auch eine zentrische Streckung ist eine lineare Abbildung, ja. Abbildungsmatrix:



(mit als Einheitsmatrix) wenn der Streckfaktor und der Ursprung das Streckzentrum ist.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt auch eine Drehung mit

wäre eine affine Abbildung oder?

Gibt es denn Beispiele von affinen Abbildungen,die keine lineare Abbildungen sind?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gibt es denn Beispiele von affinen Abbildungen,die keine lineare Abbildungen sind?

na jede echte verschiebung ist nichtlinear

also z.b. die verschiebungm vom IR^2 in den IR^2


als A denke man sich I, das ist nicht linear
 
 
n! Auf diesen Beitrag antworten »

ok,danke erstmal an Leopold und Jochen.

Fazit also: Beide meiner vorgelegten Definitionen sind lineare Abbildungen.Zudem ist jede lineare Abbildung mit dem Verschiebungsvektor auch eine affine Abbidlung.Also wie z.B. Drehung,Streckung (siehe oben)

Ist sicherlich nicht das günstigste Thema um in die Algebra einzusteigen.So weit ich weiß werden affine/lineare Abbidlungen erst später behandelt oder? Das Thema hat mich halt interessiert.
Wireshark Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung n!
Du hast dich bei dem Fazit falsch ausgedrückt(vielleicht hast du es ja auch falsch verstanden). Eine lineare Abbildungist eine strukturerhaltende AAbbildung d.h z.B es ist egal ob du zwei Elemente erst addierst und dann in die Abbildung reinschmeißt oder erst abbildest und dann anschließend addierst. Das Resultat ist das selbe ... Nun ist es bei affinen Abbildungen so das noch zusätzlich eine Verschiebung ran kommt. Das heißt wiederum das eine Affine Abbildungen mit dem Verschiebungensanteil =0 automatisch eine lineare Abbildung ist. Orthogonale Abbildungen an sich sind lineare Abbildungen ( um genauer zu sein heißt hier der Begriff Automorphismus) wenn man bei einer orthogonalen Abbildungen noch ne zusätzliche Verschiebung reinmacht nennen die Mathematiker es eine Isometrie(euklidische Bewegung)
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