injektiv,surjektiv,bijektiv beispiel auf RxR

21.03.2004, 12:56

irongate984

injektiv,surjektiv,bijektiv beispiel auf RxR

wie sehen konkrete beispiele für eine injektive nicht surjektive eine surjektive nicht injektive und bijektive funktion in R²-->R² aus?!

vielen dank schonmal

21.03.2004, 16:38

LarsB.

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Beispiel NORMALPARABEL y = x²

Injektiv bedeutet :

Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Surjektiv bedeutet:

Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild

bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv, also :

Jedes Bild hat genau EIN Urbild

1.Fall:

D = R
W = R

Die positiven Y werte haben 2 Urbilder, nämlich jeweils +/- ein bestimmtes X. Das würde für surjektiv sprechen

Die negativen Y Werte werden jedoch von KEINEM x des definitionsbereiches "getroffen", deswegen ist die Funktion in diesem

Definitonsbereich/wertebereich weder injektiv noch surjektiv.

2.Fall

Schränken wir den Definitionsbereich auf die positiven reelen Zahlen ein,

D = R+
W = R

Jetzt werden die positiven Y Werte von nur von genau einem X getroffen, jedoch werden die negativen Y Werte garnicht getroffen.
Diese Funktion wäre Injektiv, jedoch nicht surjektiv

3.Fall

Schränken wir auch den Wertebereich auf R+ ein:

D = R+
W = R+

Nun wird genau jedes Element des Wertebereich EINMAL getroffen, es ist also eine Eineindeutige Zuordnung und die Funktion ist somit bijektiv.

hoffe das kann man verstehen.

mfg Lars

21.03.2004, 16:40

Ben Sisko

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Man findet hierfür auch leicht Beispiele, wenn man die Forumssuche benutzt.

Gruß vom Ben

21.03.2004, 17:00

SirJective

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Das Beispiel von LarsB wäre auch mein Standardbeispiel gewesen. Es zeigt ganz deutlich, dass Definitions- und Wertebereich Teil der Funktion sind.

Es gibt natürlich auch (nicht) injektive, (nicht) surjektive Funktion von ganz R nach ganz R, z.B.

f: R -> R, x -> x^3 - x

ist surjektiv, aber nicht injektiv.

f: R -> R, x -> x^3 + x

ist surjektiv und injektiv, also bijektiv.

f: R -> R, x -> exp(x)

ist injektiv, aber nicht surjektiv.

f: R -> R, x -> x^2

ist weder injektiv noch surjektiv.

Gruss,
SirJective

22.03.2004, 10:01

irongate984

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upsi habe gerade gemerkt das ich mich verschrieben hatte!ich wollte beispiele von R²-->R²!kann mir dort auch jemand behilflich sein?!

22.03.2004, 21:14

SirJective

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Na klar, da gibts auch jede Menge...

(x,y) -> (x,y) ist bijektiv

(x,y) -> (x,exp(y)) ist injektiv aber nicht surjektiv

(x,y) -> (x,y^3-y) ist surjektiv aber nicht injektiv

(x,y) -> (x,y^2) ist weder injektiv noch surjektiv

Fällt dir was auf? Die erste Komponente ist jeweils x, und die andere geht die Beispiele durch.

Aber auch

(x,y) -> (y,x)
(x,y) -> (x,x+y)

sind bijektiv.

Wie steht's mit

(x,y) -> (2*x+y,x+2*y)

ist die injektiv oder surjektiv?

Gruss,
SirJective

24.04.2012, 20:08

MacMike

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frage zu f:R->R, x->x^2
Erst einmal möchte ich alle mit meiner ersten Frage im Matheboard begrüßen smile

Bei dem Thema injektiv, surjektiv und bijektiv komm ich oft an klitze kleine Verständnislücken. vom Prinzip habe ich verstanden was es bedeutet.
ich will mal versuchen mein Problem zu schildern.

ich habe vor kurzem angefangen mich durch Mathegrundlagen zu "kämpfen".

folgendes habe ich dort als Definition in meinem Studienbrief gefunden:

(i) f heißt surjektiv, wenn jedes Element n € N im Bild von f liegt
(ii) f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt
(iii) f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv als auch injektiv ist

@ LarsB.
du hattest als definition etwas geschrieben worüber ich auch schon ein paar mal nicht nur gestolpert sondern auch gefallen bin (ich hoffe es ist ok, dass ich zusätzliche Markierungen eingefügt habe):

Injektiv bedeutet :

Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Surjektiv bedeutet:

Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild

bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv, also :

Jedes Bild hat genau EIN Urbild

Also
kann es sein, dass man als Definition sagt "Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild", wenn man injektivität einzeln betrachtet, sowie dass man sagt "Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild" wenn man Surjektivität einzeln betrachtet? also ohne an bijektivität zu denken?

surjektiv

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Surjection.svg/220px-Surjection.svg.png

injektiv

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Injection.svg/220px-Injection.svg.png

Wenn es jetzt nämlich heisst "f ist bijektiv, wenn f sowohl injektiv als surjektiv ist" bedeutet das ja eigentlich, dass definitionsmenge und zielmenge die selbe Mächtigkeit haben muss.
genau das habe ich im Bericht auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive_Funktion) gefunden : "Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit"

das alles macht jetzt aber nur Sinn, wenn die folgenden Definitionen richtig sind:
(i) f heißt surjektiv, wenn jedes Element n € N im Bild von f liegt
(ii) f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt

Aus dieser Kopfzermürbenden Frage stellt sich direkt die nächste Frage:

@SirJective

warum gilt für f: R -> R, x -> x^2, dass sie weder injektiv noch surjektiv ist?.

Wenn ich mir die Aufgabe so anschaue komme ich auf folgendes:

f (0) = 0
f (1) = 1
f (-1) = 1
f (2) = 4
f (-2) = 4
f (3) = 9
f (-3) = 9

nachdem was ich jetzt aus diesem Forum gelernt habe ist die Abbildung surjektiv ( da, jedes Bild mindestens ein Urbild hat) aber nicht injektiv ( da jedes Bild außer 0 zwei Urbilder hat und das mehr als höchstens ein Urbild ist ) .

bin ich jetzt total verwirrt?

24.04.2012, 23:06

blubbel

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Eines vorweg: War dir klar, dass der Thread aus 2004 stammt? geschockt

Zu deiner letzten Frage: x² ist nicht surjektiv, da z.B. die -1 kein Urbild hat, zumindest nicht in IR smile

24.04.2012, 23:46

MacMike

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Erstmal danke für deine Antwort! smile

Jetzt wo Du es sagst seh ich, dass der Beitrag von 2004 ist ….
Vielleicht finde ich ja trotzdem mit viel Glück Antworten auf meine Fragen.

nochmal zu f: R -> R, x -> x^2

also unter den reellen zahlen verstehe ich R={…,-1,-1/2,0,1/2,1,…}

Wenn ich also einsetze:
f (-1) = 1
f (1) =1
f (-2) = 4
f (2) = 4
f (0) = 0

dann hat jedes Element aus Bild von f (außer der 0) zwei Urbilder.

Wenn ich meinem Studienbrief zur Hilfe nehme sagt die darin stehende Definition aus "f ist surjektiv, wenn jedes Element n E N im Bild von f liegt".
es ist aber nicht injektiv weil: "f ist injektiv wenn jedes Element im Bild von f GENAU EIN Urbild besitzt".

also demnach: surjektiv, aber nicht injektiv

oder irre ich mich so gewaltig verwirrt

24.04.2012, 23:50

Iorek

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Ja, du irrst dich gewaltig.

Übrigens ist auch blubbels Aussage, dass x² nicht surjektiv ist mit Vorsicht zu genießen, x² ist erst einmal keine Funktion.

Also, wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,~x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ . Du hast schon richtig erkannt, dass die Funktion nicht injektiv ist, schließlich ist etwa $\begin{eqnarray*} f(1)=1=f(-1) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1\neq -1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt solltest du dir erstmal ansehen, was in den reellen Zahlen alles vorhanden ist, $\begin{eqnarray*} \mathbb R=\{\dots,-1,-\frac 12,0,\frac 12,1\dots\} \end{eqnarray*}$ ist es nämlich definitiv nicht!

24.04.2012, 23:59

MacMike

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Vielen Dank für die Antwort smile

also ich muss gestehen, dass ich die Definition der reellen Zahl aus Wikipedia habe und vielleicht habe ich etwas missverstanden.

dort steht jedenfalls: "Die Menge der reellen Zahlen enthält die rationalen Zahlen (ganze Zahlen wie -1, 0, 1, 2 und Bruchzahlen wie 3/4, -2/3 usw.)..."

Quelle

und darin ist doch die -1 enthalten, oder?

25.04.2012, 00:05

Iorek

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An der -1 habe ich mich auch nicht gestört, das ist aber auch nicht das, was bei Wikipedia steht (wobei die Darstellung bei Wikipedia mMn auch verbesserungswürdig ist).

In den reellen Zahlen findet man neben den rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q =\{\frac pq~|~p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ auch sämtliche irrationale Zahlen, $\begin{eqnarray*} \sqrt 2,\pi,e \end{eqnarray*}$ wären bekannte Vertreter.

Kümmern wir uns aber mal um die Surjektivität, du behauptest, die Abbildung ist surjektiv. Dann gib doch bitte mal ein Urbild für $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ an.

25.04.2012, 00:22

MacMike

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also:

f (-1) = 1

aber kann es sein, dass ich bei wikipedia verstehe : R= {....,-1,1-/2,0,1/2,1,...}
aber richtig wäre R ist die Menge aus rationalen und irrationalen zahlen, also nicht {...-1,0,1,...} ?

25.04.2012, 00:24

Iorek

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Damit hast du das Bild von -1 unter der Funktion f bestimmt, aber kein Urbild für -1 angegeben. Welche reelle Zahl wird denn auf -1 abgebildet, oder anders: für welches $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x)=-1 \end{eqnarray*}$ ?

Und ja, die reellen Zahlen lassen sich unterscheiden in rationale und irrationale Zahlen. Eine aufzählende Darstellung wie etwa bei den natürlichen und ganzen Zahlen ist nicht mehr möglich.

25.04.2012, 00:33

MacMike

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jetzt fällt der Groschen!

wenn f(x) = x^2
urbild
Bild

kann ich für f(x) = -1 kein Urbild finden!

nun noch ein letztes mal zu den Reellen Zahlen:
habe ich dass denn jetzt richtig verstanden dass ganze {...,-1,0,1,...} und Natürliche zahlen {...,1,2,3,...} nicht zu den reellen zahlen gehören oder war das schon richtig und mein Fehler bestand nur darin, dass mir nicht klar war, dass -1 kein Urbild hat?

25.04.2012, 00:35

Iorek

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Die ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3\dots\} \end{eqnarray*}$ und die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb N =\{1,2,3,\dots\} \end{eqnarray*}$ gehören natürlich zu den reellen Zahlen, aber eben noch viel mehr.

25.04.2012, 00:48

MacMike

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ahhhh, ok! smile

also enthalten beide Mengen M und N Reelle zahlen.
da jetzt aber in N zwar das Bild von f liegt aber dieses -1 nicht enthält ist f nicht surjektiv

surjektiv
"f ist surjektiv, wenn jedes Element n E N im Bild von f liegt"
da aber -1 nicht im Bild von f liegt aber in N vorkommt ist f nicht surjektiv

injektiv
"f ist injektiv, wenn jedes Element im Bild von f GENAU ein Urbild hat.
da aber alle Bilder ( ausser 0 ) zwei Urbilder haben gilt: f ist nicht injektiv

das stimmt jetzt aber hoffentlich

25.04.2012, 01:28

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt ist nur die frage wie ich bijektivität nachweise.

denn wenn ich das Beispiel mit der Normalparabel nochmals aufgreife:

y=x^2

und wir den Definitionsbereich und den Wertebereich auf R+ einschränken, dann gilt:

D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,....}
W = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,....}

f (1) = 1
f (2) = 4
f (3) = 9

dann ist Bild(f) = {1,4,9,}
das Bild(f) liegt auch ganz klar in W = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}

also kann man auf jedenfalls sagen:
f ist injektiv, denn "f ist injektiv wenn jedes Element im Bild von f GENAU ein Urbild hat"
aber wieso surjektiv?
es gilt:
"f ist subjektiv, wenn jedes n E N im Bild von f liegt" aber Elemente wie 2,3,5,6,7,8 liegen in N aber nicht im Bild von f.

25.04.2012, 10:01

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ denn nun auf einmal $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5,\dots\} \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

Bitte mache dich doch einmal mit der Menge der reellen Zahlen vertraut, schlage den Begriff in einem Lehrbuch nach, dir scheint das Grundwissen über die üblichen Zahlbereiche zu fehlen.

25.04.2012, 11:38

MacMike

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wenn R bedeutet, dass dort alle Natürlichen, alle Ganzen Zahlen und Brüche und dann noch zahlen viel mehr "vermengt" sind, liegen in R+ natürlich nur alles was positiv ist und daher müsste auch die null nicht drin sein. oder?

dann habe ich mit {1,2,3,4,5,6...} natürlich die Brüche und die anderen zahlen dazwischen vergessen und das ist ein schwerwiegender Fehler, was mir heute morgen nach dem aufstehen jetzt auch bewusst wird. ich war gestern wohl etwas übermüdet.

jetzt mal davon abgesehen, dass ich die falsche menge für R+ angegeben habe:
sind die beiden letzten posts von mir denn nun so weit richtig?

25.04.2012, 11:44

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn man von einer falschen Definition ausgeht, kann nur selten etwas richtiges dabei rauskommen.

Du behauptest, 2,3,5,6,7 würden nicht getroffen, d.h. es gibt keine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=2 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber falsch, schließlich ist $\begin{eqnarray*} \sqrt 2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\sqrt 2)=2 \end{eqnarray*}$ ; ähnlich verhält es sich mit den anderen Zahlen.

25.04.2012, 12:51

MacMike

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oh ...
bei f(wurzel3)=3 ..... und so weiter.

ich danke dir für deine Geduld! das war mir eine große Hilfe. jetzt ist nur noch die frage wie ich das mit den verschiedenen Definitionen von surjektiv, injektiv, und bijektiv zu verstehen habe.

also ich habe ja die Vermutung, dass beide Varianten richtig sind. die frage ist ob ich das auch richtig verstanden habe.

wenn ich in meinem studienbrief lese:

(i) f heißt surjektiv, wenn jedes Element n € N im Bild von f liegt
(ii) f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt
(iii) f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv als auch injektiv ist

und hier im Forum:

Injektiv bedeutet :

Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Surjektiv bedeutet:

Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild

bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv, also :

Jedes Bild hat genau EIN Urbild

und wikipedia sagt:

surjektiv
[img] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...jection.svg.png
[/img]
injektiv
[img] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...jection.svg.png[/img]

Nach all dem was ich jetzt gelesen habe glaube ich das folgende aussage die logische ist:

entscheidend scheint die Definition von bijektivität zu sein.

wenn ich sage:
bijektiv bedeutet injektiv und surjektiv, also : Jedes Bild hat genau EIN Urbild
kann ich auch sagen:

Injektiv bedeutet : Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Surjektiv bedeutet: Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild

wenn ich für bijektivität aber die Definition nehme:
f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv als auch injektiv ist
kann ich nicht sagen:

Injektiv bedeutet : Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Surjektiv bedeutet: Jedes Bild hat MINDESTENS ein Urbild

weil sich alles widersprechen würde. denn wie können zwei Definitionen gleichzeitig gelten, wenn die eine höchsten und die andere mindestens, für den selben wert sagt?

wenn ich also sage:
f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv als auch injektiv is

muss ich auch sagen:

(i) f heißt surjektiv, wenn jedes Element n € N im Bild von f liegt
(ii) f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt

die frage ist jetzt: habe ich es richtig verstanden wenn ich sage, dass beide Definitionsansätze für surjektiv, injektiv und bijektiv richtig sind?

25.04.2012, 13:02

Mulder

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Sorry, wenn ich jetzt reinplatze, aber mir ist da schon gestern eine Ungenauigkeit aufgefallen, die sich schon durch die ganzen letzten Beiträge schleppt und die auch diese Verwirrung verursacht:

Aus deinem Studienbrief:

Zitat:

f heißt injektiv, wenn jedes Element im Bild von f genau ein Urbild besitzt

Hier achte auf die Wortwohl: Jedes Element im Bild von f. Das Bild von f ist die Menge der Elemente aus der Zielmenge, die auch tatsächlich angenommen werden. Das heißt, die haben auf jeden Fall alle ein Urbild.

$\begin{eqnarray*} F: A \to B \end{eqnarray*}$

Dabei ist B die Zielmenge. Das Bild von f ist die Menge der Elemente, die auch tatsächlich angenommen werden:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) \subseteq B \end{eqnarray*}$

Und wenn jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) \end{eqnarray*}$ genau ein Urbild hat, dann ist f injektiv. Denn dass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) \end{eqnarray*}$ schon mal mindestens ein Urbild hat, ist klar, sonst läge das Element ja nicht in $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) \end{eqnarray*}$ .

Die Definition, die auf Wikipedia zu lesen ist, dreht sich um die gesamte Zielmenge:

Zitat:

Jedes Bild hat HÖCHSTENS ein Urbild

Jedes "Bild" hier bezeichnet ein Element aus der Menge B, der gesamten Zielmenge. Es ist hier nicht näher festgelegt, ob das "Bild" auch tatsächlich schon in der Menge $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) \end{eqnarray*}$ liegt. Darum ersetzt man hier das "genau ein" durch höchstens.

Es sind beides die gleichen Definitionen, aber unterscheiden musst du, ob die gesamte Zielmenge betrachtet wird, oder ob direkt von $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild} \end{eqnarray*}$ gesprochen wird.

Wenn man hier mit den Begrifflichkeiten schludert, entstehen diese Verwirrungen. Die Bezeichnungen verschwimmen da schon ab und an mal. Darum ist es wichtig, es auch wirklich verstanden zu haben, dann kann man auch jeweils erkennnen, was gemeint ist.

Gilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f) =B \end{eqnarray*}$ , dann ist f surjektiv.

25.04.2012, 13:15

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt Bild(f) = B dann ist f doch sogar bijektiv, oder?

denn:
wenn wir sagen, dass Bild(f) eine menge ist, die in diesem Beispiel in B liegt ( also Teilmenge von B ist, in der die Elemente liegen, die alle ihr Urbild in A haben ) kann man sagen, dass sie injektiv ist, weil alle ein Urbild haben. wenn Bild(f) = B ist sie auch surjektiv.

Da sie subjektiv, wie injektiv ist, ist sie bijektiv verwirrt

25.04.2012, 13:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bloß weil bild(f)=B ist, ist die Abbildung nicht injektiv. Über die Anzahl der Urbilder sagt das nämlich nichts aus.

Sei $\begin{eqnarray*} A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},B=\{1\} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:A\rightarrow B,~x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ surjektiv, schließlich ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{bild}(f)=B \end{eqnarray*}$ , aber doch bestimmt nicht injektiv und damit nicht bijektiv.

Du solltest dir die Grundbegriffe noch einmal klar machen (Definitionsbereich, Zielbereich, Wertebereich/Bild), wie sieht deine Funktion aus, von wo nach wo bildet sie ab, Was ist das Bild einer Funktion, wie ist das Urbild definiert...

25.04.2012, 13:33

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

nocheinmal danke für die Hilfe von allen!

ist eigentlich was an der aussage dran, dass bei bijektivität die definitionsmenge und die zielmenge die selbe Mächtigkeit haben (also in beiden mengen gleich viele Elemente vorkommen)?

25.04.2012, 13:37

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist gerade die Definition der Gleichmächtigkeit.

Zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f: A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ gibt.

25.04.2012, 13:44

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

und das ist jetzt genau das was ich mir merken sollte,

Falls nur die Zielmenge und das Bild(f) gegeben ist, kann ich niemals was über Injektivität sagen, wenn ich die Definitionsmenge nicht kenne und erst recht nicht über bijektivität.

25.04.2012, 14:59

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mich jetzt an noch eine Übungsaufgabe getraut.

Sei f : Z -> ZxZ definiert durch f(z) = (z,z+1) für alle z E Z. Untersuchen sie, ob f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

wenn ich jetzt einsetze

f (-2) = -1,2
f (-1) = -0,1
f (0) = 1
f (1) = 2,1
f (2) = 3,2

Definitionsmenge: D = {...,-2,-1,0,1,2,...}
zielmenge : W = {...,-2,-1,0,1,2,...}

Ausserdem:
Bild(f)={1} und Bild(f) ist Teilmenge von W aber Bild(f) ungleich W.

es gilt:
f ist injektiv, da jedes Element in Bild(f) ein Urbild hat.
f ist nicht surjektiv, da nicht jedes Element aus W Element aus Bild(f) ist
f ist nicht bijektiv, da f injektiv aber nicht surjektiv ist.

knallt mir nen Ziegel an den Kopf, wenn ich mich schon wieder irre.

25.04.2012, 15:11

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Zielmenge ist falsch, $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \times \mathbb Z = \{(x,y)~|~x,y\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Tupel mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

25.04.2012, 15:31

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

ohje ....

25.04.2012, 18:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wiederhole noch einmal meinen Hinweis: setze dich nochmal mit den grundlegenden Mengenbegriffen auseinander. Wenn du diese nicht beherrschst, macht es keinen Sinn weitergehende Aufgaben zur Injektivität/Surjektivität von Funktionen zu bearbeiten. Der Umgang mit Mengen und die entsprechenden Symbole sind essentiell notwendig.

Als Tipp für die Aufgabe: die Abbildung ist injektiv, aber nicht surjektiv. Zum Nachweis der Injektivität eignet sich die äquivalente Definition der Injektivität über:
$\begin{eqnarray*} f: A\rightarrow B~\text{ ist injektiv} \Leftrightarrow \forall a_1,a_2\in A: f(a_1)=f(a_2) \Rightarrow a_1=a_2 \end{eqnarray*}$

Um die Surjektivität zu widerlegen, reicht es ein Tupel anzugeben, welches kein Urbild hat.

25.04.2012, 22:47

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss zugeben, dass ich gerade irgendwie nicht in der Lage bin a1 und a2 in Zusammenhang mit
" f : Z -> ZxZ definiert durch f(z) = (z,z+1) für alle z E Z" zu bringen

aber wenn man den Lösungsvorschlag von mir verfolg sieht man, dass ich ab dem z,z schon nicht mehr mitkomme. ist das ein tupel oder eine Komazahl?

ist mein a1 mein erstes z und mein a2 das zweite z von z,z?

25.04.2012, 22:58

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (z,z+1)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ein Tupel, keine Kommazahl. Und was macht die Abbildung? Sie schickt eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf das Tupel $\begin{eqnarray*} (z,z+1) \end{eqnarray*}$ . So ist etwa $\begin{eqnarray*} f(0)=(0,0+1)=(0,1) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(3)=(3,3+1)=(3,4) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(-1)=(-1,-1+1)=(-1,0) \end{eqnarray*}$ oder ...

Übrigens merke ich gerade, dass oben die Angabe fehlt, wo die $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \end{eqnarray*}$ herkommen sollen. Das mag sich zwar aus dem Kontext erschließen, trotzdem trage ich es noch nach.

25.04.2012, 23:08

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt versteh ich den Inhalt der klammer endlich mit den z,z.

wenn ich jetzt die Surjektivität nachweisen will und ein tupel suche, das kein Urbild hat würde ich so vorgehen:

erstmal probieren und einsetzten

f(-3) = (-3,-2)
f(-2) = (-2,-1)
f(-1) = (-1,0)
f(0) = (0,1)
f(1) = (1,2)
f(2) = (2,3)
f(3) = (3,4)

könnte ich jetzt also sagen, dass (1,3) ein tupel wäre, das kein Urbild hat?

25.04.2012, 23:11

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du hast lediglich gezeigt, dass das Urbild von (1,3) nicht zwischen -3 und 3 liegt. Es gibt aber noch unendlich viele andere Zahlen, die als potentielles Urbild in Frage kommen. Da fehlt noch eine Begründung, um die Surjektivität zu widerlegen.

25.04.2012, 23:25

MacMike

Auf diesen Beitrag antworten »

"Es ist (1,3) E ZxZ, aber es gibt kein z E Z mit (z,z+1) = (1,3). Somit besitzt nicht jedes Element in ZxZ ein Urbild unter f, das heißt, f ist nicht surjektiv."

dieser Satz steht in meinem script nur mit dem unterschied, dass hier das tupel (0,2) angegeben wird. ich habe das jetzt durch mein tupel ersetzt, weil ich glaube, dass ich vielleicht hätte die Begründung warum ich darauf komme, dass (1,3) vielleicht ein tupel sein könnte, das kein Urbild hat.

25.04.2012, 23:27

Iorek

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Das wäre eine mögliche Begründung, ja.

Der erste Eintrag des Tupels muss zwingend $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ sein, somit wäre ein mögliches Urbild $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ . Aber das passt mit dem zweiten Eintrag nicht zusammen, also kann es kein Urbild geben.

25.04.2012, 23:31

MacMike

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na bitte!

ich danke vielmals!
ich glaube damit werde ich mich noch sehr oft beschäftigen müssen, denn ich bin in Mathe noch grün hinter den Ohren. und mein Abi liegt auch schon etwas zurück ....

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injektiv,surjektiv,bijektiv beispiel auf RxR

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