Ähnlichkeitsdifferentialgleichung - komisch integriert!?

12.07.2005, 10:55	twxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeitsdifferentialgleichung - komisch integriert!? hallo, ich sitze grad an einer recht simplen differentialgleichung namens $\begin{eqnarray} \int^{}_{}\frac{dz}{z^2 - z} = ln x + c \end{eqnarray}$ z ist substituiert y/x nun dacht ich mir "die linke seite die integrier ich mir" und komme auf $\begin{eqnarray} \frac{ln(z^2 - z)}{2z - 1} \end{eqnarray}$ (nur linke seite) aber jetzt fangen die probleme an: laut lösung soll ich irgendwie auf $\begin{eqnarray} \frac{1 - z}{z} = x e^c \end{eqnarray}$ kommen.. und zwar nach integrieren und bilden der exponentialfunktion aber das krieg ich nicht geregelt... für mich gilt da $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}log(u) = log(\sqrt[n]{u} ) \end{eqnarray}$ hat mal wer nen tip für mich?
12.07.2005, 11:00	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
schreibt doch mal die ausgangsaufgabe hin!
12.07.2005, 11:09	twxx	Auf diesen Beitrag antworten »
folgendes anfangswertproblem: $\begin{eqnarray} y' = (\frac{y}{x})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(1) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$
12.07.2005, 11:54	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
dein integral ist einfach falsch, leite deine stammfunktion doch mal ab (achtung quotientenregel) hier hilft partialbruchzerlegung weiter
12.07.2005, 12:59	twxx	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt, mein integral hat natürlich nicht gestimmt... aber (is mir jetzt ein bisschen peinlich) ich komm jetzt auf $\begin{eqnarray} \frac{z - 1}{z} \end{eqnarray}$ statt auf $\begin{eqnarray} \frac{1-z}{z} \end{eqnarray}$ bei der pbz hab ich verwendet: $\begin{eqnarray} \int^{}_{}\frac{1}{z^2-z} = \int^{}_{}\frac{P(z)}{Q(z)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(z) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q(z) = z^2 - z = (z - 0)(z - 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q'(z) = 2z - 1 \end{eqnarray}$ dann komme ich auf $\begin{eqnarray} A_0 = -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_1 = 1 \end{eqnarray}$ und damit dann auf $\begin{eqnarray} \int^{}_{}\frac{1}{z^2-z} = -1 ln(z - 0) + ln(z - 1) = ln(x) + c \end{eqnarray}$ vereinfacht ergibt das aber $\begin{eqnarray} \frac{z-1}{z}=x e^c \end{eqnarray}$ also is irgendwo ein vz-fehler? versteh ich nicht... heute ist irgendwie kein tag für mathe glaub ich O.o
12.07.2005, 13:30	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
deine schreibweise ist mehr als verwirrend, einfach bezeichnungen (A_0 usf) einzuführen ohne zu sagen, was was ist ich bekomme aber das gleiche raus, hast du den VZF vielleicht vorher? wie kommst du darauf, dass das nicht sein kann so?
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12.07.2005, 13:31	twxx	Auf diesen Beitrag antworten »
weils im mathebuch anders steht... A_0 etc sind teilergebnisse für die pbz A_0 = P(0) / Q'(0) entsprechendes gilt für A_1 sorry hab nicht dran gedacht das zu erklären...
12.07.2005, 13:46	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm, ich überlass das glaube ich mal besser den analytikern aber letzzte frage, wie kommst du denn auf deine DGL nach z ich setze z=y/x habe dann: $\begin{eqnarray} z'=\frac{y'x-y}{x^2}=\frac{z^2}{x}-zx \end{eqnarray}$ und dann kann man nicht so ohne weiteres x ausklammern habe ich einen denkfehler?

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