Koordinatentransformation kurvenintegral

12.07.2005, 15:16	hansmoleman	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation kurvenintegral hallo und guten tag zusammen... wie ist das jetzt... ??? wenn ich eine kreisgleichung habe ... x^2+y^2=R^2 (!!!Kurvenintegral) dann transformiere ich doch so x=Rcos(alpha) y=Rsin(alpha) und diese delta = R ???? oder immer=1 ? also die jakobische determinante meine ich... weil wenn man die koordinatentransformation bei einem doppelintegral durchführt wäre es ja so... x=roh * cos(alpha) y=roh * sin(alpha) delta = roh... danke für eure hilfe
12.07.2005, 17:46	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du x = r cos(phi) y = r sin(phi) substituierst, ist die jacobi-determinante immer r. bin mir nicht sicher, ob man auch irgendwie anders und sinnvoll substituieren könnte, im R2 ist das eigentlich so üblich...
12.07.2005, 18:20	hansmoleman	Auf diesen Beitrag antworten »
dann verstehe ich das hier aber nicht... (satz von Green) für einen Kreis... x^2+y^2=R^2 Koordinatentransf.: x=Rcos (alpha) y=Rsin (alpha) $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~(x dy - y * dx~)= 1/2 * \int_{0}^{2\pi}~Rcos(alpha)Rcos(alpha)+ Rsin(alpha)Rsin(alpha)~dalpha = 1/2 R^2 \int_{0}^{2\pi}~dalpha~dx= \piR^2 \end{eqnarray}$ aber da ist kein zusätzliches delta bzw . R drin ...der jakobischen determinante? danke
12.07.2005, 19:10	hansmoleman	Auf diesen Beitrag antworten »
also grundsätzlich... ist die jakobische determinante anders bei kurvenintegralen als bei doppelintegralen ??? bitte helft mir...
12.07.2005, 21:08	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal das Beispiel bringen, wenn du über den Kreis integrierst, der durch $\begin{eqnarray} K: x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray}$ dargestellt wird, wobei $\begin{eqnarray} r \geq 0 \end{eqnarray}$ der Radius sein soll, ist doch mit der Paramtrisierung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} r\cos\varphi \\ r\sin\varphi \end{pmatrix}, 0 \leq \varphi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ der Flächeninhalt: $\begin{eqnarray} \int_K\mathrm dA &=& \int\limits_0^R\int\limits_0^{2\pi}r\mathrm d\varphi \mathrm dr = \pi R^2 \end{eqnarray}$
12.07.2005, 21:12	hansmoleman	Auf diesen Beitrag antworten »
ja gut, da hast du ja wieder die koordinatentransformation beim doppelintegral durchgeführt.... oder verstehe ich das jetzt falsch...? danke
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12.07.2005, 21:16	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so, ja natürlich, du musst natürlich nicht x = cos(phi) y = sin(phi) substituieren. das ist halt oft eine gute lösungsmöglichkeit. aber prinzipiell kannst du natürlich substituieren wie du willst, und daher kann die jacobi-determinante unterschiedlich sein.
12.07.2005, 21:18	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, habe ich. Wenn du eine Koordinantentransformtion durchführst in Polarkoordinanten, musst du dann eben noch $\begin{eqnarray} \cdot r \end{eqnarray}$ rechnen. $\begin{eqnarray} \mathrm dA = r\mathrm dr\mathrm d\varphi \end{eqnarray}$ Wählst du Kugelkoordinanten musst du noch unterscheiden beim Volumenelement erhälst du: $\begin{eqnarray} \mathrm dV = r^2 \sin\vartheta ~ \mathrm d\varphi ~ \mathrm d\theta ~ \mathrm dr \end{eqnarray}$ für das Flächenelement: $\begin{eqnarray} \mathrm dA = r^2 \sin\vartheta ~ \mathrm d\varphi ~ \mathrm d\theta \end{eqnarray}$

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