Matrix soll invertierbar sein

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12.07.2005, 16:57	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix soll invertierbar sein a) bestimmen sie alle u, für die B invertierbar ist $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 2-u & 2 & 1 \\ 3 & 1-u & 1 \\ -3 & -2 & -2-u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bevor ich loslege eine verständnisfrage: damit B invertierbar ist, muss der Rang von B doch = 3 sein, oder? ist das der richtige lösungsansatz für diese aufgabe?
12.07.2005, 17:15	derkoch	Auf diesen Beitrag antworten »
jup
12.07.2005, 17:16	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, der Rang muss 3 sein, und das ist genau dann der Fall wenn die Determinante nicht Null ist. Um also alle u zu finden, guckst du erstmal für welche u die Matrix nicht invertierbar ist indem du die Gleichung für die Determinante aufstellst und gleich Null setzt.
12.07.2005, 17:19	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm, dann hänge ich aber beim gauß-algorithmus fest: $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 2-u & 2 & 1 \\ 0 & \frac{1}{3}u^2-u-\frac{4}{3} & -\frac{1}{3}u-\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3}u+\frac{10}{3} & \frac{1}{3}u^2-\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gibt es noch eine andere möglichkeit die Us zu bestimmen? oder häng ich gar net fest? -> oh, posting zu spät gesehen... moment, ich rechne mal mit der determinante!
12.07.2005, 17:28	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
so, also die determinantengleichung bringt mir folgendes: $\begin{eqnarray} -u^3+u^2+5u+3=0 \end{eqnarray}$ -1 ist geratene nullstelle, polynomdivision führt zu -1 und 3 als (weitere) nullstellen... und nun? für diese u ist B NICHT invertierbar, oder (da determinante = 0)?
12.07.2005, 17:36	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, für alle anderen Elemente deines Grundkörpers, sagen wir IR ist die Matrix invertierbar, also ist IR\{...,...} deine Lösungsmenge.
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12.07.2005, 17:44	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
die aufgabe geht aber noch weiter: b) Bestimmen sie alle lösungen des gleichungssystems: $\begin{eqnarray} B^{-1}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ muss ich dafür jetzt die inverse matrix bestimmen, oder gibt es auch hier einen trick? wenn ich die inverse matrix bestimmen soll, kann ich das doch eh nur wieder für allg u machen...
12.07.2005, 18:28	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange du nicht die unerlaubten Werte für u einsetzt schon. Sonst könntes du die Matrix gar nicht invertieren, müsstest durch Null teilen und so. Ein Trick beim invertieren wäre eine erlaubte Zahl für u einzusetzen; aber dann musst du höllisch aufpassen wo das u dann in deinem B^-1 überall ist, bevor du weiterrechnest. Ob das einfacher ist, musst du selbst entscheiden.
12.07.2005, 20:03	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn B nicht invertierbar ist macht die darstellung keinen sinn wenn B invertierbar ist, kannst du auf beiden seiten B anmultiplizieren
13.07.2005, 15:52	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für eure hilfe, aber leider hab ich gestern (nach 8h uni -> hoffe ihr verzeiht mir das^^) abend einen fehler gemacht. und zwar sollte dieses $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ nicht die inverse matrix sein, sondern die mit -1 an der stelle von u..... (war aber auch doof auf dem aufgabenzettel gestellt) demnach erhalte ich nach anwendung des gauß algortithmus die matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich kann also 2 variablen frei wählen und komme so zu lösungen wie z.b. (-1,1,1) oder aber auch (-10/3,3,4)... wie kann ich denn jetzt mathematisch korrekt ALLE lösungen des GLS angeben?
13.07.2005, 16:15	Sephiroth	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3x +2y+ z \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also L = {(x, y, z) \| 3x + 2y + z = 0} oder anderes L = { $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ -3x -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } mit x, y aus R kannst natürlich genau so x oder y ersetzen durch y und z bzw x und z \\edit Fehlerteufel
13.07.2005, 16:28	TobsenMH	Auf diesen Beitrag antworten »
ah jetzt ja dankeschön!

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