Ellipse usw

12.07.2005, 17:25	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse usw Ich sitz da grade an einer (für mich) ziemlich kniffeligen Aufgabe und komm da auf keinen grünen Zweig. Nicht vor den ganzen Definitionen erschrecken also Ellipse E in Normalform: $\begin{eqnarray} E = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \| \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} - 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist die Länge der Hauptachsen von E. Sei $\begin{eqnarray} c := \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} \end{eqnarray}$ Die Punkte $\begin{eqnarray} f_{1} = \begin{pmatrix} -c \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{2} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind die Brennpunkte. $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac{c}{\alpha} \end{eqnarray}$ heisst Exzentrität, $\begin{eqnarray} p = \frac{\beta^2}{\alpha} \end{eqnarray}$ ist der Parameter. --------------------------- Hyperbel H in Normalform: $\begin{eqnarray} H = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \| \frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} - 1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist die Länge der Hauptachsen von H. Sei $\begin{eqnarray} c := \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \end{eqnarray}$ Die Punkte $\begin{eqnarray} f_{1} = \begin{pmatrix} -c \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_{2} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind die Brennpunkte. $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac{c}{\alpha} \end{eqnarray}$ heisst Exzentrität, $\begin{eqnarray} p = \frac{\beta^2}{\alpha} \end{eqnarray}$ ist der Parameter. ------------------------------ Parabel P in Normalform: $\begin{eqnarray} H = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \| y^2 - 2px =0 p>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f = \begin{pmatrix} \frac{p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist der Brennpunkt und p der Parameter. -------------------------------- Aufgabe: (bei i) und ii) ist zusätzlich die Länge der Hauptachsen zu berechnen) i) $\begin{eqnarray} q = \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Punkt von E gendau dann wenn: $\begin{eqnarray} \|\| q - f_{1}\|\| + \|\|q - f_{2}\|\| = 2\alpha \end{eqnarray}$ ii) $\begin{eqnarray} q = \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Punkt von H gendau dann wenn: $\begin{eqnarray} \|\| q - f_{1}\|\| - \|\|q - f_{2}\|\| = 2\alpha \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} q = \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist ein Punkt von P gendau dann wenn: $\begin{eqnarray} \|\|q-f\|\| = \|\|q - \begin{pmatrix} 0 \\ q_{2} \end{pmatrix}\|\| \end{eqnarray}$ Also bei i) und ii) komm ich nach Einsetzen von f und Berechnen der Norm auf ne Wurzelgleiochung, mir der ich nicht mehr weiter machen kann. Bei iii) komm ich nach Einsetzen von f , dem Berechnen der Norm und dem Quadrieren beider Seiten auf: $\begin{eqnarray} 4q_{2} + p^2 - 2q_{1}p = 0 \end{eqnarray}$ ... Da stört die 4 und das p^2 sonst wärs ja schon die Normalform. Wär echt super, wenn mir da jemand auf nen grünen Zweig verhelfen könnte. Vor allem bräuchte ich das bis Donnerstag früh.
12.07.2005, 18:36	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sehen denn die Wurzelgleichungen bei i) und ii) genau aus ? Vielleicht kann man da was quadrieren...
12.07.2005, 20:35	guest	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ellipse usw Also bei i) $\begin{eqnarray} \|\| q - f_{1}\|\| + \|\|q - f_{2}\|\| = 2\alpha \end{eqnarray}$ nach einsetzen von f1 und f2: $\begin{eqnarray} \|\| \begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -c \\ 0 \end{pmatrix}\|\| + \|\|\begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c \\ 0 \end{pmatrix}\|\| = 2\alpha \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \|\|\begin{pmatrix} q_{1}+c \\ q_{2} \end{pmatrix}\|\| + \|\|\begin{pmatrix} q_{1}-c \\ q_{2} \end{pmatrix}\|\| = 2\alpha \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sqrt{(q_{1}+c)^2 + q_{2}^2} + \sqrt{(q_{1}-c)^2 + q_{2}^2} = 2\alpha \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sqrt{q_{1}^2 + 2q_{1}c + c^2 + q_{2}^2} + \sqrt{q_{1}^2 - 2q_{1}c + c^2 + q_{2}^2} = 2\alpha \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sqrt{q_{1}^2 + 2q_{1}c + c^2 + q_{2}^2} + \sqrt{q_{1}^2 - 2q_{1}c + c^2 + q_{2}^2} = 2\alpha \end{eqnarray}$ weiter komm ich dann nicht. Ich könnte halt höchstens für c die Wurzel von oben einsetzen, aber das machts noch viel komplizierter. Vllt müsste man mit dem p oder $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ rumrechnen. rauskommen muss am Schluss halt das: $\begin{eqnarray} \frac{q_{1}^2}{\alpha^2} + \frac{q_{2}^2}{\beta^2} - 1 = 0 \end{eqnarray}$ ii) ist eigentlich genau so, nur dass einmal + und - vertauscht sind. bei iii) ist es sehr sonderbar. Wenn ich in $\begin{eqnarray} \|\|\begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - f\|\| =\|\|\begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ q_{2} \end{pmatrix}\|\| \end{eqnarray}$ f einsetze erhalte ich: $\begin{eqnarray} \|\|\begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{p}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\|\| =\|\|\begin{pmatrix} q_{1} \\ q_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ q_{2} \end{pmatrix}\|\| \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \|\|\begin{pmatrix} q_{1} - \frac{p}{2} \\ q_{2} \end{pmatrix} \|\| = q_{1} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \sqrt{(q_{1} - \frac{p}{2})^2 + q_{2}^2} = q_{1} \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} (q_{1} - \frac{p}{2})^2 + q_{2}^2 = q_{1}^2 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} q_{1}^2 - 2q_{1}\frac{p}{2} +\frac{p}{2} ^2 + q_{2}^2 = q_{1}^2 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} - 2q_{1}\frac{p}{2} +\frac{p}{2} ^2 + q_{2}^2 = 0 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} - 2q_{1}p +p ^2 + 2q_{2}^2 = 0 \end{eqnarray}$ rauskommen muss $\begin{eqnarray} - 2q_{1}p + q_{2}^2 = 0 \end{eqnarray}$ das funkioniert aber nur, wenn p² = - q2²
12.07.2005, 21:19	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Herleitung der Gleichung für die Ellipse

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