Funktion ermitteln
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12.07.2005, 23:35 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion ermitteln
Hallo,

ich habe eine Wertetabelle (1-20) und sonst habe ich absolut keine Informationen über die Funktion. Wie gehe ich da am besten ran, um sie zu bestimmen?
Hier erstmal die Werte:
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

1 10
2 19
3 36
4 61
5 94
6 135
7 184
8 241
9 306
10 379
11 460
12 549
13 646
14 751
15 864
16 985
17 1114
18 1251
19 1396
20 1549


Ich vermute mal, es handelt sich um eine rationale Funktion 2. oder 3. Grades. Leider habe ich bisher durch Aufstellen von Gleichungen und das Lösen von ihnen (von einer Funktion 2. Grades ausgegangen) kein wirklich passendes Ergebnis herausgebracht.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Danke!

P.S.: Mein Wissenstand ist der eines 11. Klasse Gymnasiasten.
12.07.2005, 23:59 phi Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

Als allererstes mal die Werte in ein Koordinatensystem skizzieren.
Habt ihr schon Laplace drangehabt?

Gruß, phi.
13.07.2005, 00:03 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich habe eine Wertetabelle (1-20) und sonst habe ich absolut keine Informationen über die Funktion.

dann kann das fast jede funktion sein.....
wie kommst du gerade auf eine ganzrationale funktion, steht da denn gar nix im aufgabentext?

ich würde dir ja, wenn nix da steht empfehlen, einfach raffiniert zu sein;
es gilt: f(x)=10 für x<1,5
es gilt: f(x)=19 für 1,5<=x<2,5
es gilt.....

udn du hast eine passende funktion da stehen
13.07.2005, 00:09 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion ermitteln
Zitat:
Original von Chrustinho
Ich vermute mal, es handelt sich um eine rationale Funktion 2. oder 3. Grades.


Da vermutest du richtig.

Zitat:
Original von Chrustinho
Leider habe ich bisher durch Aufstellen von Gleichungen und das Lösen von ihnen (von einer Funktion 2. Grades ausgegangen) kein wirklich passendes Ergebnis herausgebracht.


Ich habe mir die Werte angesehen und daraufhin entschieden, es müsse sich um eine quadratische Funktion handeln, habe die Gleichungssysteme in ein CAS gehackt und siehe da, es kommen wunderbar runde Werte heraus, die auch noch passen, zumindest für die 20 Werte, die du uns gegeben hast.

Wie hast du also deine Gleichungssysteme aufgestellt? Poste mal deinen Rechenweg.

Zitat:
Original von LOED
ich würde dir ja, wenn nix da steht empfehlen, einfach raffiniert zu sein;
es gilt: f(x)=10 für x<1,5
es gilt: f(x)=19 für 1,5<=x<2,5
es gilt.....

udn du hast eine passende funktion da stehen


smile Ich wüsste zu gerne, wie ein Mathelehrer das in einer Klausur bewerten würde...
13.07.2005, 09:22 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für eure Tipps!

Wie ich es aus diesem Jahr in der Schule kenne, habe ich einfach Gleichungen aufgestellt.
Ich bin von der Form a*x²+b*x+c ausgegangen. Wobei ich durch den den angedeuteten Graphen davon ausgegangen bin, dass c= 0 ist. Bei den 2 Unbekannten müssten nun also 2 Gleichungen reichen. Ich habe einmal bei 20 und bei 10 die Werte eingesetzt. Ich habe dann für a = 3,955 und für b=-1,65 bekommen. Der Graph bringt mir allerdings nicht wirklich ein schönes Ergebnis unglücklich

Wie lautet denn der Graph und wie funktioiert das, wenn man ein CAS benutzt?
13.07.2005, 11:45 Denjell Auf diesen Beitrag antworten »

geh nicht davon aus das c=0 ist, dass steht nirgendwo, dann kommst auch auf ein gescheites ergebnis, musst aber 3 gleichungen verwenden
 Anzeige 
 
13.07.2005, 12:06 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion ermitteln
Zitat:
Original von sqrt(2)
Zitat:
Original von LOED
ich würde dir ja, wenn nix da steht empfehlen, einfach raffiniert zu sein;
es gilt: f(x)=10 für x<1,5
es gilt: f(x)=19 für 1,5<=x<2,5
es gilt.....

udn du hast eine passende funktion da stehen


smile Ich wüsste zu gerne, wie ein Mathelehrer das in einer Klausur bewerten würde...

wenn da tatsächlich nur: ermitteln sie eine funktion, so dass..... steht müsste er es als vollkommen korrekt ansehen
denn das ist eine funktion und sie erfüllt die bedingungen

was sagen denn unsere lehrer dazu? leopold?
13.07.2005, 12:55 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrustinho
Ich bin von der Form a*x²+b*x+c ausgegangen.


Das ist so richtig (wenn du noch ein f(x)=" davor setzst, noch richtiger).


Zitat:
Original von Chrustinho
Wobei ich durch den den angedeuteten Graphen davon ausgegangen bin, dass c= 0 ist.


Diese Annahme ist falsch. Wenn du so viele Werte vorgegeben hast, solltest du nicht versuchen, etwas aus dem Graphen herauszulesen, denn das ist relativ ungenau. Aus deinen 20 Werten kannst du auch gut drei Gleichungen für drei Unbekannte aufstellen, ein Problem sollte das ja nicht sein.


Zitat:
Original von Chrustinho
Wie lautet denn der Graph und wie funktioiert das, wenn man ein CAS benutzt?


Die Gleichungen aufstellen muss man schon selber. Das Lösen des Gleichungssystems wird dann für einen gemacht.

code: 
1:
2:

(%i1) linsolve([10=a+b+c,19=4*a+2*b+c,36=9*a+3*b+c],[a,b,c]);
(%o1) 							      [a =  , b =  , c =  ]

(Die Lösungen habe ich jetzt entfernt, ganz vorgeben möchte ich dir die Aufgabe ja nicht.)
13.07.2005, 13:23 grybl Auf diesen Beitrag antworten »

verschoben smile
13.07.2005, 15:07 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Ich hatte eigentlich nur Probleme mit dem Lösen des LGS. Ich benutze Linux und da habe ich noch kein Programm gefunden (vielleicht hat ja jemand einen Tip für mich? smile ), das das kann. Somit hatte ich eben c=0 angenommen, damit ich per Hand nicht soviel rechnen muss. Big Laugh
Ich habe mir jetzt ein C++ Programm geschrieben. Das mit dem Gauß-Jordan- Algorithmus mir Gleichungssysteme lösen kann. Damit sind dann auch schöne Ergebnisse herausgekommen.
Das ganze ist keine Aufgabe aus der Schule oder Studium. Das sind einfach Werte eines Spiels und ich möchte die Nachfolgewerte berechnen. Somit hatte ich keine Aufgabenstellung und die "raffinierte" Lösung mir nichts gebracht smile

Ich möchte euch allen für eure Hilfe danken!
13.07.2005, 15:22 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrustinho
Vielen Dank. Ich hatte eigentlich nur Probleme mit dem Lösen des LGS. Ich benutze Linux und da habe ich noch kein Programm gefunden (vielleicht hat ja jemand einen Tip für mich? smile )


Maxima (habe ich verwendet), yacas (mag ich nicht) und Axoim (habe ich noch nicht getestet) sind freie Software. Die kommerziellen Mathematica und Maple habe ich noch nicht getestet (was ich im Falle von Maple aber bald tun werde). Ansonsten gibt's auch viele GTR, die das können (ich habe nur nie einen besessen).

Naja, und der Vollständigkeit halber die Lösung: .
13.07.2005, 15:34 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte mal eine frage an euch:
hand aufs herz, habt ihr alle werte geprüft?

normalerweise zeichnet man einige werte ein, vermutet, parabel reicht, rechnet die aus, prüft 5 werte, passt, fertig
was aber, wenn außen einer abfällt?

doofe aufgabe, mit soviel gegebenen werten...... unglücklich
13.07.2005, 15:41 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht alle Werte geprüft, aber ich habe gnuplot die Werte grafisch auftragen lassen und den Graphen der Lösungfunktion drüberlegen lassen. Es passte, eventuelle Abweichungen wären sehr gering gewesen.
13.07.2005, 15:45 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion ermitteln
Zitat:
Original von Chrustinho (leicht verändert)
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

1 10
2 19
3 36
4 61
5 94
6 135
7 184
8 241
9 306
10 379
11 460
12 549
13 646
14 751
15 864
16 985
17 1114
18 1251
19 1396
20 1552

ich möchte das ganze problem mal so stellen; finden sie eine ganzrationale funktion kleinsten grades (mal nebenlösungssicherer formuliert), die durch all die punkte geht

wer den codetext nach unten scrollt wird merken, dass ich den letzten f(x)wert um 3 gesteigert habe


Zitat:
eventuelle Abweichungen wären sehr gering gewesen

messfehler?

mfg jochen



ps: nur um mal zu verdeutlichen, was ich von solchen aufgabenstellungen halte
wegen mir 4 punkte angeben, ansatz f=ax^3+.....
rechnen, feststellen a=0 wählbar, freuen, fertig
13.07.2005, 15:54 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion ermitteln
Zitat:
Original von LOED
Zitat:
eventuelle Abweichungen wären sehr gering gewesen

messfehler?


Genau. Augenzwinkern

Dass ich eigentlich alle Werte hätte prüfen müssen, ist mir klar, da ich aber von einer Schulaufgabenstellung ausgeangen bin, habe ich mir das gespart.

Die Abweichung von 3 hätte ich übrigens schon gesehen.
13.07.2005, 16:10 AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
ich hätte mal eine frage an euch:
hand aufs herz, habt ihr alle werte geprüft?

Aber klar - ist doch einfach bei Betrachtung iterierter Differenzen:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:

 1   10
           9
 2   19        8
          17
 3   36        8
          25
 4   61        8
          33
 5   94        8
          41
 6  135        8
          49
 7  184        8
          57
 8  241        8
          65
 9  306        8
          73
10  379        8
          81
11  460        8
          89
12  549        8
          97
13  646        8
         105
14  751        8
         113
15  864        8
         121
16  985        8
         129
17 1114        8
         137
18 1251        8
         145
19 1396        8
         153
20 1549

Kann man z.B. auch von Excel erledigen lassen - dafür geht's gerade noch...
13.07.2005, 16:21 JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das problem ist, dass ich solche aufgaben auch für klausurrelevant halte
und in klausuren bleibt einem dann wohl kaum etwas anderes übrig, als zu vertrauen, wie es auch sqrt schon gemacht hat.

excel zumindest stand uns in klausuren nie zur verfügung und das alles nachzurechnen ist sinnlose zeitverschwendung.

mfg jochen
13.07.2005, 20:28 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich hoffe, ihr nehmt es mir nicht übel, wenn ich euch mit einem "neuen" Problem belästigen muss. Neu ist es eigentlich nicht, da ich nun die Funktion für eine andere Zahlenreihe suche.
Hier erstmal die Werte (wieder 1-20):
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

1 4500
2 55125
3 118406
4 207000
5 320906
6 460125
7 624656
8 814500
9 1029656
10 1270125
11 1535906
12 1827000
13 2143406
14 2485125
15 2852156
16 3244500
17 3662156
18 4105125
19 4573406
20 5067000

Siehe Anhang

Ich habe nun die ganzen Gleichungen (gut, nur einen Teil smile ) aufgestellt und in Maxima eingetippt (Danke für den Tipp, ein wirklich gutes Programm!):
code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:

linsolve([a+b+c+d=4500,
8*a+4*b+2*c+d=55125,
27*a+9*b+3*c+d=118406,
64*a+8*b+4*c+d=207000,
125*a+25*b+5*c+d=320906,
216*a+36*b+6*c+d=460125,
343*a+49*b+7*c+d=624656,
512*a+64*b+8*c+d=814500,
729*a+81*b+9*c+d=1029656,
1000*a+100*b+10*c+d=1270125,
1331*a+121*b+11*c+d=1535906,
1728*a+144*b+12*c+d=1827000]
,[a,b,c,d]);

Ich bin hier von einer Funktion 3. Grades ausgegangen. Wäre die Funktion 2. Grades, dann würde für a=0 herauskommen. Somit ist es besser, von einer Funktion hohen Grades auszugehen. Sehe ich das richtig?
Problem ist nun, dass Maxima meint, die Matrix sei inkonsistent. unglücklich
Es könnte natürlich sein, dass die Werte gerundet sind oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Habt ihr einen Tipp für mich?
13.07.2005, 21:01 sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Chrustinho
Ich bin hier von einer Funktion 3. Grades ausgegangen. Wäre die Funktion 2. Grades, dann würde für a=0 herauskommen. Somit ist es besser, von einer Funktion hohen Grades auszugehen. Sehe ich das richtig?

So lange das CAS für einen die Arbeit macht, prinzipiell ja.

Zitat:
Original von Chrustinho
Problem ist nun, dass Maxima meint, die Matrix sei inkonsistent. unglücklich

Abgesehen davon, dass du in der vierten Gleichung einen Fehler hast, mag Maxima höchstens so viele Gleichungen, wie es Variablen gibt. Eine Funktion dritten Grades ist das allerdings trotzdem nicht, auch nicht eine vierten Grades.

Zitat:
Original von Chrustinho
Es könnte natürlich sein, dass die Werte gerundet sind

Das nehme ich an. Dann braucht man Methoden der Regressionsrechnung.
13.07.2005, 22:21 etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahlenreihe müsste wohl zu Anfang lauten:

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:

4500 
17156
55125
118406
usw.

d.h. das eigentlich 2. Glied der Zahlenreihe wurde vergessen/weggelassen, oder ?

Und die Funktionswerte könnten tatsächlich gerundet sein, weil sich mit 25312.5 konstante 2. Differenzen ergeben.
15.07.2005, 10:43 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »

nein, es fehlt kein Wert.
Zitat:
weil sich mit 25312.5 konstante 2. Differenzen ergeben

das verstehe ich nicht ganz. Kannst du mir das vielleicht erläutern?
15.07.2005, 15:12 etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

@Chrustinho

schau etwas weiter oben bei dem Beitrag von Arthur Dent, wo AD die ersten und zweiten Differenzen ausgerechnet hatte, d.h.

1. Differenzen:

2. Differenzen:

Nun gilt:
sind die ersten Differenzen gleich, ist die Zahlenfolge linear
und
sind die zweiten Differenzen gleich, ist die Zahlenfolge quadratisch
usw.

Rechne einfach mal für die Zahlenfolge die ersten und zweiten Differenzen aus.
16.07.2005, 13:17 Chrustinho Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank etzwane! Du hast mich auf die richtige Spur gebracht. Der erste Wert ist nämlich speziell festgesetzt. Alle weiteren lassen sich dann durch eine quadratische Funktion erreichen. Diese " iterierte Differenzen" kannte ich bisher noch nicht, werde ich mir aber auf jeden Fall merken, die sind sehr nützlich.
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