Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!

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Copate Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!
Habe in der Schule eine Aufgabe gestellt bekommen, doch die hat es wirklich in sich. Ich soll den Flächeninhalt für folgende Form ausrechnen:

http://copate.co.funpic.de/images/1.jpg
(Achtung: Nur eine Skizze!)

Das sind 2 Linsen, die gekreuzt sind. Die schwarze und die weiße Fläche muss ich also ausrechnen. Achtung: Nicht den Rand!

Die Seitenlänge des Quadrats is a. Der Flächeninhalt somit a². Das sind ja alles Teile eines Kreises, und somit müsste man mit den Formeln eines Kreises weit kommen.

Hier sind mal ein paar genauere Daten zur Figur:

http://copate.co.funpic.de/images/2.jpg http://copate.co.funpic.de/images/3.jpg

Die roten Linien sind jeweils gleichlang, die Winkel sind alle gleichgroß. Ich habe mir gedacht, dass man, wenn man eine rote Linie ausrechnen kann, somit die ganze Figur leicht lösen kann. Deswegen bitte ich euch um Hilfe, die rote Streckenlänge auszurechnen. Soweit bin ich gekommen:

S (rote Linie) = A (Kreissektor) - A (Dreieck)
[ -> Das Dreieck ist im Kreissektor ]
http://copate.co.funpic.de/images/4.jpg

S (rote Linie) = Pi x r² x 30/360 - A (Dreieck)

... ich komme nicht weiter!
Copate Auf diesen Beitrag antworten »

Ups. Mit der letzten Gleichung kommt man auf den Kreisausschnitt, der insgesammt 8x vorkommt.

Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus:

8x A(Ausschnitt) + 4x A(Dreieck) + 1x (Quadrat)

Alles kann man ausrechnen, wenn man die Länge der roten Linie weiß.

Ich habe für S = a sin 30 / sin 75 (a = r)
 
 
Mathegreis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Copate,

zur Verdeutlichung eine Frage: Erhält man Deine Figur, wenn man von jeder Ecke des Quadrates jeweils mit dem Radius a einen Viertelkreis in das Quadrat einzeichnet?

Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]7473[/attach]
Copate Auf diesen Beitrag antworten »

da, das ist es.

"...und so geht's"

genau so sieht das aus

aber da ist keine Erklärung dabei, ...
Copate Auf diesen Beitrag antworten »

sry wieder für Doppelpost

Jah danke Leopold, nach längerem hinsehen hab ich es endlich verstanden
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!
Ich hätte zuerst die Fläche einer Linse (aus der Doppel-Linse) berechnet.
Gegeben sind ihr Radius und ihr Sektorwinkel 90°
Die halbe Linse ist ein Kreissegment. A = (r²/2)•(Phi -sin(Phi)) ( Phi im Bogenmaß)
Multipliziert mit 2, das ist die Fläche einer Linse.
Du hast 2 Linsen im rechten Winkel übereinander, also musst Du die Fläche es innen liegenden Quadrats, und die 4 kleineren Kreissegmente, die um das Quadrat liegen noch davon abziehen.
Das Quadrat hat eine Seitenlänge von: s=2•r •sin(30°/2) = 5,176381cm
Die 4 kleinen Segmente über dem Quadrat haben diese Seite als Sehne und ihr Sektorwinkel ist jeweils 30°. Mit obiger Segmentberechnung A= ...
kannst Du somit von einer Linse die Fläche des Mittelteils abziehen, damit ist die Flächen in den 4 Quadratecken bestimmbar. Ebenso auch die Fläche beider Linsen übereinander. Die Subtraktion vom Quadrat und den Linsen gibt die außen (dazwischenliegenden 4 Restflächen)
Die 4•2 = 8 äußeren Kreissegmente haben ebenfalls den Sektorwinkel 30°

Ich hänge noch zusätzlich eine Zeichnung zur Orientierung an.
Du musst das Bild 2 x vergrößern, das dauert immer einige Sekunden

Rechenwerte beziehen sich auf meinen gewählten Radius von 100mm = 10cm
Copate Auf diesen Beitrag antworten »

jo vielen dank, wirklich sehr detailliert und es hat mir sehr viel weitergeholfen. nochmal danke an alle Augenzwinkern

thread kann geschlossen werden meinetwegen ..
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!
Hier noch ein anderer Weg

Quadratseite = a; Asp ist auch berechenbar!
Copate Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!
@ Alex-Peter:

kannst du mir pls erklären, wie man schrittweise auf die formel von A(Dreieck) kommt?
also auf dieses (a² /4) mal wurzel3 ...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt für 2 gekreuzte Linsen?!
Zitat:
Original von Alex-Peter
Hier noch ein anderer Weg

Quadratseite = a; Asp ist auch berechenbar!



siehe den beitrag von Leopold
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